- •Глава 1. Основные понятия и теоремы теории вероятностей………………….5
- •Глава 2. Повторные независимые испытания………………………………….22
- •Введение
- •Глава 1. Основные понятия и теоремы теории вероятностей
- •1.1. Основные понятия
- •1.2. Классическое определение вероятности
- •1.3. Относительная частота. Статистическое определение вероятности
- •1.4. Геометрическое определение вероятности
- •1.5. Теорема сложения вероятностей. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Независимые события
- •1.6. Вероятность появления хотя бы одного события
- •1.7. Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •Глава 2. Повторные независимые испытания
- •2.1. Схема Бернулли
- •2.2. Формула Пуассона
- •2.3. Локальная и интегральная теоремы Муавра - Лапласа
Глава 2. Повторные независимые испытания
2.1. Схема Бернулли
В приложениях теории вероятностей часто встречается некоторая стандартная схема, называемая схемой независимых испытаний или схемой Бернулли. Имеет место теорема.
Теорема. Если вероятность наступления событии А в каждом испытании постоянна, то вероятность того, что событие А наступит т раз в независимых испытания, равна
, (19)
или
(19*)
где
Вероятность того, что событие наступит: а) менее раз; б) более раз; в) не менее раз; г) не более раз – находят соответственно по формулам:
а)
б)
в)
г) (20)
Опр. Число , которому при заданном соответствует максимальная биномиальная вероятность , называется наивероятнейшим.
Для нахождения наивероятнейшего числа по заданным и р можно воспользоваться неравенствами
, (21)
причем:
а) если число - дробное, то существует одно наивероятнейшее число ;
б) если число - целое, то существует два наивероятнейших числа: и ;
в) если число - целое, то наивероятнейшее число
*Пусть производится независимых опытов, каждый из которых имеет т попарно несовместных и единственно возможных сходов с вероятностями , одинаковыми во всех опытах ( ). Для произвольных целых неотрицательных чисел обозначим через вероятность того, что в опытах исход наступит раз, исход наступит раз и т.д., исход наступит раз. Тогда справедлива формула
, (22)
которая является обобщением формулы Бернулли на случай, когда каждый из независимых опытов имеет т исходов .
Пример 10. Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Что вероятнее выиграть: две партии из четырех или три партии из шести (ничьи во внимание не принимаются)?
Решение.
Так как играют равносильные шахматисты, то вероятность выигрыша , следовательно, вероятность проигрыша
Так как во всех партиях вероятность выигрыша постоянна и безразлично, в какой последовательности будут выиграны партии, то применима формула Бернулли.
Найдем вероятность того, что две партии из четырех будут выиграны. Воспользуемся формулой 19*:
Найдем вероятность того, что три партии из шести будут выиграны:
Так как , то вероятнее выиграть две партии из четырех, чем три из шести.
Ответ: вероятнее выиграть две партии из четырех. [2, с.46-47]
Пример 11. Товаровед осматривает 24 образца товаров. Вероятность того, что каждый из образцов будет признан годным к продаже, равна 0,6. Найдите наивероятнейшее число образцов, которые товаровед признает годными к продаже.
Решение.
По условию , , . Воспользуемся неравенством 21:
.
Подставляя данные задачи, получим
или
Так как - целое число, то наивероятнейших чисел два: и .
Ответ: 14; 15. [2, с.58-59]
2.2. Формула Пуассона
Но в жизни встречаются задачи, когда и - велики, а - мало. Например, Ясно, что в этом случае воспользоваться формулой Бернулли технически очень сложно. Возникает необходимость в желании иметь более простые приближенные формулы для вычисления вероятности при больших . Такие формулы, называемые асимптотическими, существуют и определяются теоремой Пуассона, локальной и интегральной теоремами Муавра-Лапласа. Наиболее простоя из них является теорема Пуассона.
При больших и малых имеет место теорема.
Теорема. Если вероятность наступления события в каждом испытании стремится к нулю при неограниченном увеличении числа испытаний , причем произведение стремиться к постоянному числу то вероятность того, что событие появится т раз в независимых испытаниях, удовлетворяет предельному равенству
Итак, если вероятность – постоянна и мала, число испытаний – велико и число - незначительно ( ). То из предельного равенства вытекает приближенная формула Пуассона:
(23)
Функция Пуассона табулирована (см. таблице 3 приложений [4, с.556] ), но можно воспользоваться и значениями:
….
Пример 12. На факультете насчитывается 1825 студентов. Какова вероятность того, что 1 сентября является днем рождения одновременно четырех студентов факультета?
Решение.
Из условия задачи следует, что , , .
Найдем , т. е. условие - выполняется, можно воспользоваться формулой 23 и таблицей 3 «Значения функции Пуассона»:
.
Ответ: 0,1755. [4, с.72-73]