§ 10. Множество значений функции.

1. Множество значений функции есть значения, которые может принимать зависимая переменная или функция . Для функции приняты обозначения или .

2. На графике функции множество значений находят по оси .

3. Если , то , или .

4. Если , , то .

5. Для всякого многочлена нечётной степени .

6. Если , , то , или , где , , - координаты вершины параболы.

7. Если , , то , или .

8. Если или , то , или .

9. Если , то , или .

10. Если , то , или .

11. Если , то .

12. Если , то , или .

13. Если , то .

§ 11. Чётность, нечётность, периодичность функции.

1. Функция называется чётной, если:

а). Область определения симметрична относительно нуля, т.е. ;

б). .

График чётной функции симметричен относительно оси .

2. Функция называется нечётной, если:

а). Область определения симметрична относительно нуля, т.е. ;

б). .

График нечётной функции симметричен относительно начала координат.

Если , то и тогда график нечётной функции проходит через начало координат.

3. Свойства чётных и нечётных функций.

1). Сумма или разность чётных (нечётных) функций является чётной (нечётной) функцией.

2). Произведение или частное чётных функций является чётной функцией.

3). Произведение или частное двух нечётных функций является чётной функцией.

4). Произведение или частное чётной и нечётной функции является нечётной функцией.

5). Производная от чётной (нечётной) функции является нечётной (чётной) функцией.

6). Функцию , определенную на множестве для любого можно представить в виде суммы чётной и нечётной:

.

4. Число называется периодом функции , если

, , и верно равенство .

Функция, имеющая период, называется периодической.

Если функция периодическая с периодом , то при любом целом число тоже период этой функции. Поэтому среди всех периодов функции находят её наименьший положительный период (если он существует). Именно его для конкретной функции называют основным периодом или просто периодом.

1). Для функции , периодом является любое положительное число.

2). Для функции период , где - целая часть числа .

3). Для функции период , где - дробная часть числа .

4). Для уравнения гармонических колебаний , где - амплитуда (максимальное отклонение от положения равновесия), - круговая частота,

- начальная фаза, - время, периодом называется время одного колебания. При этом, а все положительные периоды задаются формулой , где . При получается наименьший положительный период.

5). Для тригонометрических функций верна следующая таблица.

Функция	Период	Функция	Период