Приклад д3
Дано: m1 = 2 кг, m2 = 3 кг, m3 = 1 кг, R2 = 0,4 м, r2 = 0,2 м, = 0,3 м, R3 = 0,2 м, F = 300 H, М = 15 H·м, блок 3 – суцільний.
Визначити: – кутове прискорення шківа 2.
1. Загальне рівняння динаміки
Рисунок 1
Розв'язування. Ця система має один ступінь вільності. В'язі, накладені на систему, – ідеальні.
Для визначення застосуємо загальне рівняння динаміки:
, (1.1)
де – сума елементарних робіт активних сил; – сума елементарних робіт сил інерції.
На систему діють активні сили і пара сил з моментом М.
Вибравши напрям кутового прискорення , зображуємо на рисунку сили інерції й моменти сил інерції та (рисунок 1), величини яких дорівнюють:
(1.2)
тут моменти інерції мають значення:
(1.3)
Надамо системі можливе переміщення й вирахуємо суму елементарних робіт активних сил:
(1.4)
і суму елементарних робіт сил інерції:
(1.5)
Виразимо всі переміщення через :
(1.6)
а всі прискорення, що входять у рівність (1.2) через :
(1.7)
Підставляючи величини (1.6) у рівність (1.4) і виносячи за дужку, одержимо:
(1.8)
Уведемо позначення:
(1.9)
Тоді
(1.10)
Підставляючи величини (1.2) у рівність (1.5) і враховуючи (1.6) і (1.7), одержимо:
(1.11)
Уведемо позначення:
(1.12)
Тоді рівність (1.11) набуває вигляду
(1.13)
Використовуючи вирази (1.10) і (1.13), складемо рівняння (1.1):
(1.14)
Оскільки , то з рівняння (1.14) одержуємо
, (1.15)
або, ураховуючи (1.9) і (1.12) шукане кутове прискорення запишемо у вигляді:
. (1.16)
Підставивши в (1.16) числові значення всіх величин, знайдемо числову відповідь:
(1.17)
2 . Рівняння лагранжа іі роду
Рисунок 2
Розв'язування. Система має один ступінь вільності. Виберемо як узагальнену координату кут повороту шківа 2 ( ). Уважаючи, що шків обертається проти годинникової стрілки, і відраховуючи в бік руху, складемо рівняння Лагранжа.
. (2.1)
Визначимо кінетичну енергію Т системи, що дорівнює сумі енергій усіх тіл:
. (2.2)
Оскільки вантаж 1 рухається поступально, шків 2 обертається навколо нерухомої осі, а блок 3 рухається плоско-паралельно, то
(2.3)
де . (2.4)
Усі швидкості, що входять у (2.3), слід виразити через узагальнену швидкість , що дорівнює, очевидно, . Тоді
(2.5)
Таким чином рівність (2.2) з урахуванням (2.3), (2.4) й (2.5) набуває вигляду:
. (2.6)
Ураховуючи позначення (1.12), запишемо остаточно:
. (2.7)
Оскільки Т залежить від узагальненої швидкості й не залежить від узагальненої координати , то
. (2.8)
Для визначення узагальненої сили надамо системі можливе переміщення, під час якого узагальнена координата одержить додатний приріст і покажемо переміщення кожного тіла: для тіла 1 – переміщення , для блока 3 – переміщення його центру мас .
Вирахуємо суму елементарних робіт активних сил:
. (2.9)
Використовуючи залежності (1.6) між можливими переміщеннями, одержимо:
, (2.10)
або, відповідно до позначення (1.9)
Тоді узагальнена сила набуває вигляду
. (2.11)
Підставляючи знайдені величини (2.8) і (2.11) у рівняння (2.1), одержимо
,
звідки
. (2.12)
Таким чином ми знайшли в загальному вигляді той же вираз для , що й під час розв’язування загальним рівнянням динаміки – див. (1.15).
Примітка. Якщо для механічної системи, що розглядається, потрібно було б визначити прискорення вантажу 1, то як узагальнену координату слід було б вибрати переміщення , тоді узагальненою швидкістю системи була б
.
Кінетичну енергію механічної системи в цьому випадку одержали б у вигляді
.
Сума робіт активних сил на можливому переміщенні системи, викликаному приростом узагальненої координати , мала б вигляд:
звідки узагальнена сила
.
Підставляючи в рівняння Лагранжа, одержимо
,
звідки знайдемо
,
що співпадає з кінематичною залежністю (1.7).