Представление гармонических колебаний с помощью вращающихся векторов
Для представления гармонического колебания a=Amsin(t+) в векторной форме его изображают радиус-вектором, вращающимся с угловой скоростью . Его длина (модуль) задается в соответствующем масштабе амплитудой контролируемой величины, а фазовый сдвиг - углом его наклона к горизонтальной оси (искусственное положение вектора в момент времени t=0) (рис. 3).
Такое представление в данном случае имеет формальный характер: фактически токи, напряжения и ЭДС - скалярные величины.
Построив радиус-вектор, находящийся в начальном положении, определяемом фазой , из его конца на горизонтальную ось опускают перпендикуляр, длина которого равна Amsin. Предположим, что радиус-вектор вращается с постоянной угловой частотой =2f против часовой стрелки. В некоторый момент времени t1 он окажется повернутым относительно начального положения на угол t1, а длина перпендикуляра станет равной Amsin(t1+). В момент времени t2, при котором t2+=/2, длина перпендикуляра максимальна и равна Am. При дальнейшем движении вектора (t3 -t6) эта длина изменяется в соответствии с текущей фазой радиус-вектора (ti+). Следовательно, длины перпендикуляров, опущенных из конца радиус-вектора на горизонтальную ось, характеризуют мгновенные значения исследуемой величины a.
Am a
Am t2
t3 t1
Am t4 Am
t5 t1 t2 t3 t4 t5 t6 t
t6
Am
Am
Рис.3
Поскольку проекция суммарного вектора равна сумме проекций складываемых векторов, то рассмотренный прием позволяет перейти от сложения мгновенных значений нескольких величин, синусоидально изменяющихся с одной круговой частотой, к сложению соответствующих им векторов.
В качестве примера рассмотрим узел электрической цепи, в который втекают два тока (рис. 4,а), изменяющихся по гармоническому закону: i1=Im1sin(t+1) и i2=Im2sin(t+2), а вытекает ток i3. Требуется определить его параметры - амплитуду Im3 и фазу 3.
Im3
i3 Im2
3
i1 2 Im1
0 i2 1
а б
Рис.4
Для решения этой задачи необходимо из общей точки отложить векторы, длина которых равна амплитудам токов Im1 и Im2, а их направления определяются углами начальных фаз 1 и 2. Затем по правилу параллелограмма определяют амплитуду результирующего вектора. Его длина равна амплитуде суммарного тока Im3, а направление дает начальную фазу колебаний 3. Выражение для мгновенного значения искомого тока имеет вид: i3=Im3 sin(t+3).
Совокупность векторов, характеризующих процессы, происходящие в исследуемой электрической цепи переменного тока, и построенных с соблюдением заданной их ориентации относительно друг друга, называется векторной диаграммой.
Если векторов не два, а несколько, то векторная диаграмма модифицируется: каждый последующий вектор откладывается под углом начальной фазы колебаний из конца предыдущего, а результирующий вектор находится замыканием начала первого вектора с концом последнего. Такая ситуация возникает, например, при анализе цепи, представленной на рис. 5,а.
R1
C
U
I UL
~ U R2
UR1
L UC
UR2
а б
Рис. 5
Предположим, что известны действующие значения тока в цепи, частота и параметры R1, R2, C и L. Необходимо найти действующее значение входного напряжения U и сдвиг фазы его колебаний относительно колебаний тока.
Вначале определяют действующие значения напряжений на всех элементах цепи: UR1=IR1; UC=I(1/C); UR2=IR2; UL=IL. Затем в требуемом масштабе горизонтально откладывают вектор тока I. Напряжение UR1 имеет ту же начальную фазу, что и ток. Поэтому вектор напряжения совпадает с направлением вектора тока, а его длина равна IR1. Колебания напряжения на конденсаторе отстают по фазе на /2 от колебаний тока - вектор UС, равный по модулю I(1/C), откладывают из конца вектора UR1 развернутым на /2 по часовой стрелке. Из конца вектора UС по направлению, совпадающему с направлением вектора I, откладывают вектор UR2, длина которого равна IR2. Вектор UL с модулем, равным IL, откладывают из конца вектора UR2, развернутым на /2 по направлению, противоположному вращению часовой стрелки (этим учитывается тот факт, что колебания напряжения на индуктивности опережают колебания тока на /2). Модуль вектора U (рис. 5,б) дает действующее значение входного напряжения, а угол - начальную фазу его колебаний.