- •Лекция 14. Преобразование координат.
- •§ 96. Перенос декартовой системы координат на плоскости
- •Перенос декартовой системы координат в пространстве
- •§ 97. Преобразование общей декартовой системы координат на плоскости
- •§ 98. Преобразование общей декартовой системы координат в пространстве.
- •§ 99. Преобразование декартовой прямоугольной системы координат на плоскости.
- •§ 100. Переход от одной декартовой прямоугольной системы координат к другой прямоугольной системы в пространстве
§ 100. Переход от одной декартовой прямоугольной системы координат к другой прямоугольной системы в пространстве
Введем в пространстве две прямоугольные системы координат и с общим началом координат. Обозначим через единичные векторы осей Ох, Оу, Оz, а через - единичные векторы осей (рис. 147).
Координаты единичного вектора в ортонормированном базисе т. е. в базисе, векторы которого единичные и попарно ортогональные, являются косинусами углов между этим единичным вектором и векторами . Обозначая углы между вектором и векторами через углы между и векторами через и углы между вектором и векторами через будем иметь (§ 98)
(1)
где - координаты произвольной точки М в системе , а - координаты той же точки М в системе .
Матрица перехода имеет вид
.
Она ортогональная, т.е. сумма квадратов элементов, расположенных в каждом столбце, равна 1, так как векторы единичные, а сумма произведений соответствующих элементов двух любых различных столбцов равна нулю (т.к. векторы попарно ортогональные).
Так как определитель равен
а векторы - единичные, и попарно ортогональные, то этот определитель равен . Он равен +1, если упорядоченная тройка векторов имеет ту же ориентацию, что и упорядоченная тройка , и – 1, если эти упорядоченные тройки векторов имеют противоположную ориентацию.
Можно сказать и так: детерминант матрицы А равен в зависимости от того, имеют ли системы и одинаковую или противоположную ориентацию.
Отметим частный случай преобразования декартовой прямоугольной системы координат в декартовую прямоугольную той же ориентации при условии, что оси и совпадают. В этом случае формулы (1) принимают вид:
, (2)
где - угол от оси Ох до оси в плоскости хОу, причем ориентацию этой плоскости задаем системой координат хОу. В этом частном случае будем говорить, что система получается из системы поворотом вокруг оси на угол .
Обратно, пусть задана ортогональная матрица порядка:
(3)
т.е.
(4)
Введем в пространстве прямоугольную систему координат . Векторы
(5)
в силу соотношений (4) единичные и попарно ортогональные. Рассмотрим систему с единичными векторами . Тогда формулы
связывают координаты и в одной и той же точке М в системах и .
Если в пространстве введены две декартовы прямоугольные системы координат и , то координаты любой точки М пространства в системе через координаты той же точки в системе выражаются соотношениями (рис. 148).
где углы между осями Ох, Оу, Оz, :
|
Ох |
Оу |
Оz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а - координаты точки в системе .
Старые и новые координаты и вектора при общем преобразовании декартовой прямоугольной системы координат в декартову прямоугольную имеют вид