![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
§ 61. Взаимное расположение трех прямых
Пусть относительно общей декартовой системы координат заданы общие уравнения трех прямых:
Введем следующие обозначения:
,
.
На основании предыдущего получаем следующие необходимые и достаточные признаки взаимного расположения трех данных прямых.
Е
сли
то три данные прямые попарно пересекаются и не принадлежат одному пучку, т.е. точки пересечения попарно различны и не принадлежат одной прямой (см.рис. а)
Е
сли
но только один из трех определителей
равен нулю, то три данные прямые не принадлежат одному пучку
две прямые параллельны, а третья их пересекает (см.рис б).
Е
сли
то три данные прямые попарно различны и проходят через одну точку (см.рис в).
Е
сли
но только один из определителей равен нулю, то две прямые совпадают, а третья их пересекает (см.рис г).
Е
сли
(в этом случае и ), но коэффициенты ни одной пары уравнений не пропорциональны, то три данные прямые попарно параллельны (см рис d).
Е
сли , и коэффициенты только одной пары уравнений пропорциональны, то две прямые совпадают, а третья им параллельна (см.рис е).
Е
сли коэффициенты всех уравнений пропорциональны, то уравнения определяют совпадающие прямые (см.рис ж).
Конкретные примеры расположения трех прямых.
Случай первый.
Первая
и вторая прямые пересекаются в точке
(7, -5); вторая и третья - в точке
первая и третья - в точке (1, -2).
Случай второй.
Здесь две прямые параллельны, а третья их пересекает.
Случай третий.
Это пучок. Три прямые пересекаются в точке (7, -5).
Случай четвертый.
Здесь две прямые совпадают, а третья их пересекает.
После
случая 4:
должен быть случай, когда
.
Но, если
,
то и
.
Действительно
Поэтому сразу идёт случай пятый.
Случай
пятый.
.
Здесь коэффициенты ни одной пары уравнений непропорциональны, поэтому эти 3 прямые параллельны.
Случай шестой. Коэффициенты первых двух уравнений пропорциональны.
. Две прямые совпадают, а третья им параллельна.
Случай седьмой. Все три прямые совпадают.
____________________________________________
Итак. Ещё раз. Совокупность прямых на плоскости, проходящих через некоторую точку S, называется пучком прямых с центром S.
Если
уравнения двух прямых, пересекающихся
в точке S,
то уравнение
где
и
какие
угодно числа, не равные одновременно
нулю, определяет прямую, также проходящую
через точку S.
Более
того, в этом уравнении числа
и
всегда можно подобрать так, чтобы оно
определило любую (заранее назначенную)
прямую, проходящую через точку S.
Поэтому уравнение такого вида называется
уравнением пучка (с центром в точке S).
Если
,
то, деля обе части уравнения на
и полагая
получим
Этим
уравнением можно определить любую
прямую пучка с центром S,
кроме той, которая соответствует
,
т.е. кроме прямой
Далее Клетеник № 354.