4.4. Зв’язок рангу матриці з рангом набору векторів

Розглянемо матрицю

.

Очевидно, стовпчики матриці можна вважати набором m-вимірних векторів, а її рядки – набором n-вимірних.

Теорема. Ранг матриці дорівнює рангу набору векторів-рядків та рангу набору векторів стовпчиків.

Наслідок. Рядки (стовпчики) базисного мінору матриці утворюють максимальну лінійно незалежну підсистему набору векторів-рядків (стовпчиків) цієї матриці.

Дослідження множини розв'язків слр за допомогою рангів

Розглянемо неоднорідну СЛР, що містить m рівнянь та n невідомих у матричному вигляді. Критерій сумісності такої системи дається наступною теоремою.

Теорема Кронекера-Капелі. СЛР – сумісна тоді й тільки тоді, коли ранг матриці системи дорівнює рангу розширеної матриці, тобто .

Дослідження множини розв’язків СЛР за допомогою рангів матриць дається наступною схемою.

Рис.4.2. Множина розв’язків СЛР.

Наслідки схеми для однорідних СЛР.

1. Однорідна СЛР завжди сумісна.

2. Якщо m<n, то однорідна СЛР невизначена.

3. Якщо однорідна СЛР – квадратна (m=n), то система невизначена тоді й тільки тоді, коли .