2. Основные законы сжимаемой среды

2.1. Вводные замечания

Движение любой сжимаемой среды характеризуется следую­щими физическими величинами: скоростью движения, плотностью среды, температурой и давлением. Причем в самом общем слу­чае все эти величины взаимосвязаны. Изменение какой-либо одной из них автоматически приводит к изменению всех остальных. Связь указанных величин описывается математически уравнениями, которые получаются из общих фундаментальных законов физики, механики, термодинамики. С отдельными соотно­шениями - уравнением состояния и уравнением термодинамичес­кого процесса - уже знакомы. Эти уравнения справедливы как для покоя, так и для движения, Однако в случае движения сжимаемой среды этих уравнений недостаточно для решения ин­женерных задач. К ним необходимо добавить уравнения, содер­жащие скорость движения, которые получаются при применении законов сохранения массы и энергии, законов изменения коли­чества движения и момента количества движения к движущейся сжимаемой среде.

В виду того, что в большинстве задач инженерной прак­тики трубопроводного транспорта газа приходится иметь дело с одномерными течениями, а также из-за ограниченности объе­ма настоящего пособия, изложение основных законов движения сжимаемой среды дается применительно к одномерным потокам конечных размеров. Хотя можно было бы (так же, как и в курсе гидравлики) сначала рассмотреть основные законы газодинамики в самом общем (трехмерном) случае, а затем с помощью элементарной струйки распространить их на поток конечных размеров введением средней^* (по сечению потока) скорости .

2.2. Закон сохранения массы

Р ассмотрим отсек потока газа, ограниченный живыми се­чениями 1-1 и 2-2, отстоящими друг от друга на расстоянии (рис. 2.1).

Рис.2.1. К выводу зако­на сохранения массы

Первое сечение характеризуется координатой ( - направление вдоль потока), второе – соответственно _.

Поскольку давление является функцией координаты и газ - сжимаемая среда, то плотность и скорость потока будут также функциями . В самом общем случае, когда движение неустановившееся величины , , являются еще и функциями времени, т.е.

Переменным будет и массовый расход газа . Причем, при неустановившемся течении в любой фиксированный момент времени массовые расходы газа в первом сечении и во втором сечении определяются

_;

(2.1)

Согласно закону сохранения массы, разница и рав­на изменению массы газа, заключенной в отсеке потока дли­ной . Это изменение должно рассматриваться во времени, масса газа в рассматриваемом отсеке в любой фиксированный момент времени определяется как . Изменение этой массы во времени определяется как производная по времени .

Следовательно, согласно закону сохранения массы, мож­но записать

(2.2)

Разложим в ряд Тейлора:

Подставляя это разложение в (2.2) и учитывая, что , будем иметь:

Поскольку длина отсека не зависит от времени , ее можно вынести из под знака производной. После сокращения на последнее равенство можно записать:

Или, если учесть, что массовый расход можно выразить через среднюю скорость потока как произведение ,

(2.3)

Это уравнение называет уравнением неразрывности (или сплошности) для неустановившегося одномерного течения газа или любой сжимаемой среды.

В случае движения газа в трубах и каналах постоянного сечения уравнение неразрывности (2.3) при­нимает вид

(2.4)

В случае установившегося течения газа и уравнение неразрывности (2.3) принимает вид

Это равносильно тому, что вдоль потока (при устано­вившемся движении) массовый расход не изменяется

(2.5)

т.е. для любых двух сечений потока газа справедливо равен­ство:

(2.5’)

Соотношение (2.5) или (2.5') называют уравнением расхода.