Стационарные случайные процессы

Стационарный случайный процесс   - у которого любые его вероятностные характеристики не зависят от сдвига начала отсчета времени.

Для стационарного случайного процесса характерно:

- математическое ожидание, дисперсия и СКО постоянны:

  ,     ;

- корреляционная функция стационарного процесса не зависит от начала отсчета , а зависит только от разности моментов времени:

.

Свойства корреляционной функции стационарного случайного процесса:

1). ;

2). ;

3). .

Часто корреляционные функции процессов в РЛ системах (в т.ч. и для шума) имеют вид (рис.1.2)

Рис.1.2. Корреляционная функция процесса

Интервал времени  , на котором корреляционная функция уменьшается в раз, - интервал или время корреляции.

Стационарный процесс не имеет ни начала, ни конца, т. е. начался слева в бесконечности и продолжается бесконечно долго.

Если среднее значение равно нулю, тогда отклонения в положительную и отрицательную стороны в среднем одинаковы.

Функция корреляции при стационарном процессе становится функцией не двух моментов времени t₁ и t₂, а лишь интервала между ними t₂ - t₁ = t поскольку в силу однородности процесса, безразлично, в каком месте на оси времени выбрать t₁ и откладывать ли t₂ вправо или влево от t₁ .

Эргодический стационарный случайный процесс

Стационарный случайный процесс является эргодическим, если среднее число возможных реализаций по времени равно среднему числу реализаций по множеству (свойство А.Я.Хинчина).

Поскольку шум образуется суммой большого числа отдельных независимых колебаний, он представляет собой стационарный эргодический случайный процесс с гауссовским (нормальным) распределением вероятности.

Плотность распределения вероятности (ПРВ) гауссовского процесса описывается формулой:

, (1.1)

в которую входят параметры:

- математическое ожидание

- дисперсии   .

График плотности вероятности   представляет собой колоколообразную кривую с единственным максимумом в точке   (рис.1.3).

Рис. 1.3 Гауссовское распределение вероятности

С уменьшением   кривая все более локализуется в окрестности точки  .

Для флуктуационного шума обычно  .

Если спектральная плотность мощности   флуктуационного шума постоянна в широком диапазоне частот 

 при  ,

то такой шум «белый» (по аналогии с белым светом, имеющим все частотные компоненты).

Раздел 2. Решение статистической задачи обнаружения цели

Обнаружение радиолокационной цели - процесс принятия решения о наличии или отсутствии полезных сигналов путём анализа выходного сигнала приёмника РЛС.

Проблема обнаружения цели возникает в тех случаях, когда сигналы принимаются при значительных помехах.

Если помех нет или они малы по сравнению с сигналом, то решение о наличии или отсутствии сигнала на выходе приёмника не вызывает сомнений: если на выходе приемника сигнал есть - значит есть отражения от цели; если выходной сигнал мал или равен нулю – цели нет.

Трудности возникают тогда, когда амплитуда сигнала сравнима или существенно меньше средней амплитуды помехи. В этих условиях при наличии сигнала он может быть замаскирован или подавлен помехой, а при отсутствии сигнала помеха (шумы приёмного устройства) может быть принята за сигнал.

При любой ситуации допустимы только два решения: сигнал есть или сигнала нет. Всякие уклончивые решения исключается.

Если сигнал действительно есть, то решение о его наличии называется правильным обнаружением и характеризуется вероятностью правильного обнаружения ( ); решение об отсутствии сигнала в этом случае называется пропуском цели и характеризуется вероятностью пропуска ( ). Пропуск является ошибкой РЛС при обнаружении сигнала, возникающей вследствие мешающего действия шума. Так как правильное обнаружение и пропуск при наличии сигнала составляют полную группу несовместных событий, то сумма вероятностей этих событий равна единице:

. (2.1)

Если сигнала на выходе приёмника нет, то решение о его отсутствии - правильное необнаружение и ему соответствует вероятность ;

решение о наличии сигнала в этом случае - ложная тревога (с вероятностью ложной тревоги ).

Ложная тревога также является ошибкой, вызываемой наличием шума. Правильное необнаружение и ложная тревога составляют полную группу несовместных событий, поэтому

(2.2)

Т.о., при обнаружении сигналов возможно четыре независимых события, характеризуемых четырьмя вероятностями:

, , , .

Основным показателем, определяющим значения вероятностных характеристик при обнаружении, являются отношение сигнал/шум по энергии:

, (2.3)

здесь Ес – энергия сигнала на входе приёмника, равная

при условии, что входное сопротивление Rвх=1 Ом;

u_c(t) - мгновенное значение напряжения сигнала на входе приёмника;

– длительность сигнала;

N₀ – спектральная плотность мощности шума, имеющая размерность энергии и равная

,

( – мощность шума).

Критерий качества приёмного устройства РЛС связан со значениями вероятностей правильных решений и ошибок.

Наиболее употребительными являются критерии идеального наблюдателя и Неймана-Пирсона.