- •Случайные функции (случайные процессы).
- •Характеристики сф.
- •Определение характеристик случайной функции после преобразования.
- •Отсюда следует, что спектральная плотность описывает распределение дисперсии сф по частотам.
- •Определение характеристик сф из опыта.
- •Цепь Маркова.
- •Поток событий.
- •Элементы теории массового обслуживания.
Поток событий.
Потоком событий называется последовательность событий, происходящих в случае моментов времени.
τ1
τ2
τn
▪
▪
▪
▪
▪
▪
t1
0
t2
tn-1
tn
tn+1
τn ; τn = tn - tn-1
Большинство потоков событий обладают свойствами:
Ординарности
Стационарности
Отсутствия последействия
События однородные , если они появляются по одиночке.
Поток стационарный.
Поток называется стационарным, если его вероятностные характеристики не зависят от времени.
▪
▪
▪
▪
t1
0
t2
tn+1
τ1
τ2
P(tn-1= tn)=0
F(tn / t1, t2, …, tn-1)=F(tn)
Поток, обладающий свойствами стационарности, ординарности, отсутствия последействия, называется простейшим потоком.
Рассмотрим простейший поток с дискретным временем.
t=I∙△t
▪
▪
▪
▪
▪
▪
1
0
2
i
…
t
△t
P
P
P
P
P
Простейший поток удовлетворяет всем условиям применения формулы Бернулли (испытания независимы, вероятности одинаковы, количество испытаний определено).
PI(i)=CIi ∙pi ∙ (1-p)I-i
M[X]=a= ∙t
Рассмотрим простой поток с непрерывным временем. Для этого I→ , при этом:
△t= =0
p= =0
Обозначим =2 .
С
ai
учетом принятых обозначений формула Пуассона примет вид:P
i!
(i)= ∙e-uM[X]= ∙t=2∙t=a
Т
2ti
аким образом, в простом потоке количество событий за время t подчиняется распределению Пуассона.P
i!
(i)= ∙e-2t
Определим вероятность P(0) за время t, в течение которого не появляется ни одного события:
P(0)=e-2t =P(T ), где Т – непрерывная случайная величина, характеризующаяся временем между последними событиями.
С учетом полученного можно записать:
F(t)=P{T<t}=1-P(T )=1-e-2t - функция распределения
f(t)=F’(t)= 2e-2t - экспоненциальное распределение
M[T]= λ=
M[X]=λt
λ характеризует интенсивность потока (чем больше λ, тем больше количество событий происходящих в единицу времени).
При достаточно малом значении t:
P(0) 1- λt
P(1)=1- P(0) λt
Элементы теории массового обслуживания.
СМО
N, M, K
N
Поток заявок
λ
λ - интенсивность потока заявок
1
λ
-среднее время между заявками
N – количество обслуживающих каналов
µ - интенсивность обслуживания заявок
К – наибольшая длина очереди
1
µ
-среднее время обслуживания заявок
Состояние СМО обозначим Sn .
В системе занято n каналов.
С n= , P(Sn)=Pn – вероятность каждого состояния.
В системе занято n каналов и SN+K – находим в очереди обслуживания (K= , P(SN+K) = PN+K(t))
Изобразим график смены состояния СМО:
S0
S1
S2
Sn-1
Sn
Sn+1
SN-1
SN
SN+1
SN+(K-1)
SN+K
SN∙K
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
µ
2µ
3µ
(n-1)µ
nµ
(n+1)µ
(n+2)µ
(N-1)µ
Nµ
Nµ
Nµ
Nµ
Nµ
Pn(t), n=
PN+K(t), k=
Система будет находиться в состоянии покоя, если система находится в состоянии S0 в момент времени t и за время △t ничего не произошло.
Таким образом, можно записать:
P(t+△t) P0(t)∙(1-λ∙△t)+P1(t)∙µ△t
[P(t+△t)- P0(t)] / △t P0(t)∙λ+ P1(t)∙µ
d P0(t) / dt = - P0(t)∙λ+ P1(t)∙µ
P1= P0∙
Определим вероятность P2 :
P1(t+△t) P0(t)∙ λ∙△t+P1(t)∙(1-λ△t)(1-µ△t)+ P1∙λµ△t
P1(t+△t)- P1(t)
△t
P0(t)∙ λ- P0(t)∙ (λ+µ) + P1(t)∙ λ∙µ△t+ P2(t)∙λµ
dP1(t)
dt
= P0(t)∙ λ- P0(t)∙ λ+ P2(t)∙λµ
0= P0∙ λ- P0 (λ+µ)+ P2∙λµ
P2= P0 ( )2
P3= P0 ( )3
Pn= P0 ( )n n=
Pn(t+△t) Pn-1(t)∙ λ∙△t+Pn(t)∙(1-λ△t)(1-µ△t)(1-nµ△t)+Pn+1(t)∙(n+1)∙µ△t
Pn(t+△t)- Pn(t)
△t
Pn-1(t)∙ λ- Pn(t)∙ (λ+n∙µ) + Pn(t)∙ λ∙µ∙n∙△t+ Pn+1(t)∙(n+1)µdPn(t)
dt
= Pn-1(t)∙ λ- Pn(t)∙ (λ+n∙µ )+Pn+1(t)∙(n+1)µ
0= Pn-1∙ λ- Pn(λ+n∙µ)+ Pn+1(t)∙(n+1)µ
0=P0∙ ∙( )n-1 - P0∙ ∙( )n ∙( λ+n∙µ)+ Pn+1(t)∙(n+1)µ
Pn+1= P0∙ ∙( )n+1
Определим вероятность PN+1 :
PN(t+△t) PN-1(t)∙ λ∙△t+PN(t)∙(1-λ△t)(1-Nµ△t)+ PN+1(t)∙Nµ△t
PN(t+△t)- PN(t)
△t
PN-1(t)∙ λ- PN(t)∙ (λ+Nµ) + PN(t)∙ λN∙µ△t+ PN+1(t)∙Nµ
dPN(t)
dt
= PN-1(t)∙ λ- PN(t)∙ (λ+Nµ) + PN+1(t)∙Nµ
0=P0∙ ∙( )N-1∙λ - P0∙ ∙( )N ∙( λ+N∙µ)+ PN+1(t)∙Nµ
PN+1= P0∙ ∙( )N+1 , n=
А
1
налогичным образом может быть получена вероятность PN+k :P
N∙N!k
N+k= P0 ∙ ∙( )N+k , k=
Вероятность P0 находится из условия:
1
n + N+k =1P
N∙N!k
0[ ( )n + N∙ ]=1Зная вероятности всех состояний, можно найти различные характеристики выходного потока.
Nср= n∙n
Kср= N+k∙k
Задача оптимального обнаружения сигнала.
Известен сигнал, но не известно время.
Время известно, но не известен сигнал.
Рассмотрим случайный процесс – принимаемое колебание
R(t)=
S(t) – сигнал
- параметр обнаружения ( если =1, то сигнал присутствует, если =0, то отсутствует)
X(t) – шум
Сигнал наблюдается за время Т: t =[t0; t0+T]
По принятию реализации r(t) случайного процесса R(t) на отрезке Т требуется наилучшим образом выработать решение о наличии или отсутствии сигнала в реализации r(t).
Будем полагать, что X(t)- белый Гауссовский шум с параметрами:
M
N0
[X(t)]=0K
2
X(t, t’)= δ( t -t’) – дельта функцияAЦП
△t
R(t)
(R1, R2, …, Ri, …, RI)
r(t)
(r1, r2, …, ri, …, rI)
I
X(t)
=
t
ri
ri∙△t= (t)dt
ri = (t)dt = dt = (t)dt +
dt= i + xi , где
Si= (t)dt , xi= (t)dt
Получим характеристики случайной величины xi :
xi= (t)dt
M[xi]=M[ (t)dt]=0
D[xi]=D[ (t)dt]=
N0
∙M[ (t)dt ∙ (‘t)dt’]= δ( t -t’)dt dt’==
2∙△t
Д
P(Bn)∙ P(A / Bn)
ля принятия решения о наличии или отсутствии сигнала:P
P(A)
(Bn / A)=P( )∙ P( / )
P
P( )
( / )=P( )∙ P( / )
P
P( )
( / )=
P( =1/ )
*=1
*=0
1
P
P( =0/ )
( )=
P( =1)∙P( / 1)
P
P( =0)∙P( / )
( )= =
_________________________________________________________
Отступление:
P( =1)+ P( =0)=1
В случае неопределенности о наличии или отсутствии сигнала полагают:
P( =1)= P( =0)=
__________________________________________________
P( =1)
1
=
P( =0)
P( - 1)= P( 1 =1)∙ P( 2 =1)∙…∙ P( i =1)∙…∙ P( I =1)=
( i =1)
P( = 1)= ( i =1)=L( = 1)
Каждая величина в этой формуле распределена по нормальному закону (или по закону Гаусса «Белый шум»). Т.к. каждая из случайных величин i , i=
представляет нормальное распределение, то функция правдоподобия:
L( = 1) ( i -1)
1
2σ2
f
σ
(x-a)2
(x)= e -
i=△i + xi
M
N0
2△t
N0
2△t
[ i]= △i D[ i] = σ [ i] =I
1
- (ri-Si)2
L
N0
2△t
2π
∙e
2N0 /2△t
( = 1)=Пi=1
N0
2△t
i=xi M[ i]= 0 D[ i] =σ
N0
2△t
[ i] =∙e
1
- ri2
I
L
N0
2△t
2π
2N0 /2△t
( = 1)=Пi=1
1
- (ri-△i)2
N0
2π
e
- ri2
I
l
N0
2△t
2π
∙e
2N0 /2△t
∙
2△t
2N0 /2△t
∙
e
( = 1)=Пi=1I
e
2N0 /2△t
- (ri-△i)2
- ri2
+
Пi=1
I
e
1
(2ri∙△i-△i2)
=
2N0 /2△t
N0 /△t
=
Пi=1 =
= e
N0 /△t
1
2ri∙△i-△i2)
Вводим логарифм:
1
2ri∙△i-△i2)
*
*=0
1
l
N0 /△t
( )= ln l( )=
Т
*
*=0
аким образом, можно записать:
2ri∙△i-△i2)
1
i∙△i
i2 =h ; (*)
В соответствии с уравнением (*) может быть представлена схема оптимального обнаружителя:
x
ГОС
ПУ
1
2
3
4
ri
(r1, r2, …, ri, …, rI)
ri∙△i
i∙△i
*={
1, ∑>hi
0, ∑<hi
△i
Временные диаграммы:
t
△(t)
1
t
1
-
-1
t
1
t
1
2
t
3
*=0
4
3
t
▪3
*=1
t
1
3
2
1
2
▪3
t
▪3
t
3
3
2
▪3
t
4
4
2
Фактическое состояние
=0
=1
Ошибка 2-го ( ) рода
Ошибка 1-го ( ) рода
*=1
*=0
Принимаемое решение
Принятое решение о наличии ошибки осуществляется в зависимости от возможного значения следующей случайной величины.
i∙△i
h=
i2
Z=
=0
i∙△i
i∙△i
N0
i2
Z
2△t
= M[Z]=0 D[Z]=[ ]=
f
N0
2△t
2π
1
i2
e
- z2
2N0 /2△t
i2
0(Z)=
=1
△i i+xi)∙△i
i2
N0
2△t
i2
Z = M[Z]= D[Z]=
- (z-
i2
)2
f
N0
2△t
2π
1
i2
e
2N0 /2△t
i2
1(Z)=
KX(τ)
f0(Z)
f1(Z)
2h
h
Вычислим ошибки 1-го и 2-го рода:
- (Z-2h)2
1
N0 /△t ∙2h
N0
△t
π∙2h
=
= 1(Z)dz=
Z-2h
N0
△t
h
=
N0
△t
h
N0
h
△t
0,5+ Ф[ ]=0,5 – Ф[ ]=0,5-Ф[ ]=
=
q
E
0,5 - Ф[ ]
i2
E=△t∙
N0
q
2
=
- Z2
1
N0 /△t ∙2h
N0
△t
π∙2h
=
= 0(Z)dz=
- Z2
N0 /△t ∙2h
N0
△t
π∙2h
1
=
0,5- Ф[
h△t
N0
N0
]=
=1-
=
q
E
0,5 – Ф [ ]
ξ
q
E
=0,5 – Ф [ ]
ξ
0,5
E/q