§3. Законы распределения вероятностей.

2. 3.1 Биноминальный закон распределения

Данный закон имеет место только для дискретной случайной величины. Пусть для каждого отдельного случая величина может принимать только 2 значения:

• 1 с вероятностью Р;

• 0 с вероятностью Q=1-Р.

Тогда соответствующие вероятности появления т успешных случайных величин Х вычисляется по формуле:

(3.1)

3.2. Распределение Пуассона.

Если известны значения дискретной случайной величины, тогда закон распределения может быть законом Пуассона. Распределение Пуассона обычно использует в случае «редких событий», (например, определение родившихся двойняшек в городе за определенный период).

Пусть случайная величина Х, принимающая только целые положительные значения, распределена по закону распределения Пуассона с параметром λ, если:

, (3.2)

где - интенсивность, n – количество испытаний (наблюдений); а p – вероятность появления события в каждом из них.

3.3 Нормальный закон распределения (нзр)

НЗР вероятности случайной величины Х имеет место только для непрерывной случайной величины и задается плотностью вероятности

(3.3)

- среднее квадратное отклонение, а – математическое ожидание.

Обозначение нормальной случайной величины: . Если , нормальная случайная величина называется стандартной нормальной величиной. Плотность нормализированного распределения имеет вид . Параметр а определяет положение центра нормальной плотности, - разброс относительно центра.

Свойства нормального распределения:

1. Для нормального распределения совпадают величины математического ожидания, моды и медианы.

2. Кривая плотности нормального распределения симметрична относительно средней а.

3. Если постоянно , а меняется а, то форма кривой остается неизменной, а ее график смещается вдоль оси абсцисс.

4. При постоянстве а изменение влечет изменение ширины и высоты кривой.

5. Площадь под нормальной кривой не зависит от а и и всегда равна единице.

6. Вероятность попадания нормально распределенной величины в интервалы , , составляет 68.3%, 95.4% и 99.7% соответственно.

Нормальная кривая – это график плотности нормального распределения.

Р

95.4%

99.7%

ис 1. Графики функции плотности и функции распределения стандартного нормального закона

4. Показательное распределение (экспоненциальное).

Это распределение непрерывной случайной величины. Положительная случайная величина Х имеет показательное распределение с параметром λ>0, если его плотность распределения задается функцией:

(3.4), где

Данное распределение имеет всего один неизвестный параметр λ. Математическое ожидание и дисперсия определяются соответственно:

4. Распределение «хи – квадрат»

Если случайные величины независимы и каждая из них имеет стандартное нормализованное распределение (параметры такого распределения: математическое ожидание а=0, среднее квадратичное отклонение =1), то случайная величина определяется как:

(3.5)

Данная случайная величина имеет распределение с n степенями свободы. Функция плотности хи-квадрат распределения имеет вид:

, где , - гамма - функция.

Согласно основной теореме теории вероятностей о сходимости многих распределений к нормальному: распределение медленно стремится к нормальному с увеличением числа степеней свободы.