- •Лекция 13
- •1. Решение произвольных систем линейных уравнений.
- •2. Решение однородных систем.
- •3. Понятие линейного пространства.
- •4. Примеры линейных пространств.
- •5. Евклидово пространство.
- •6. Базис линейного пространства.
- •7. Линейные преобразования.
- •8. Матрица линейного преобразования.
- •9. Собственные векторы и собственные числа.
7. Линейные преобразования.
Опр. Говорят, что в векторном пространстве L задан оператор или преобразование , если каждому вектору поставлен в соответствие вектор .
Опр. Оператор или преобразование , называется линейным, если для и числа выполняется условие:
1.
2. .
Вектор называется образом вектора . Вектор - называется прообразом вектора .
Замечание: Линейное преобразование называется линейным оператором , а также линейным отображением.
Геометрический смысл свойств.
Свойство 1 – означает, что диагональ параллелограмма, построенного на векторах отображается в диагональ параллелограмма, построенного на векторах .
Свойство 2 - означает, что если вектор увеличился в раз то вектор тоже увеличился в раз.
Следовательно, при линейном отображении коллинеарные вектора переходят в коллинеарные.
Примеры линейных преобразований:
1.) Преобразование, которое вектор отображает в вектор , является линейным и называется тождественным .
2.) Преобразование, которое вектору ставит в соответствие вектор , является линейным. Геометрически преобразование представляет собой однородное растяжение (сжатие) всех векторов пространства. Такое преобразование называется гомотетией. При =0 преобразование называется нулевым и обозначается .
8. Матрица линейного преобразования.
Пусть в линейном пространстве L задан базис , , …, . Тогда любой вектор можно представить . Пусть в нашем пространстве задан линейный оператор . Можно показать, что матрица оператора в базисе , , …, есть .
Найдем .
(1)
Разложение вектора по базису будет иметь вид . Придавая i значения i=1,2,…,n, запишем разложение векторов … по базису , , …, .
(2)
…………………………………………..
Пусть вектор в базисе , , …, имеет координаты , то есть
(3).
Подставим (2) и (3) в (1) получим:
Соберем подобные при , , …, , получим (4)
Дает связь между координатами вектора и .
это матрица линейного оператора в базисе , , …, .
9. Собственные векторы и собственные числа.
Опр. Пусть дано линейное преобразование . Не нулевой вектор называется собственным вектором линейного преобразования, если , где - действительное число, оно называется собственным числом или собственным значением вектора . Равенство можно представить в виде
. (5)
Замечание. Определение означает, что вектор переходит в коллинеарный вектор .
Найдем собственные векторы и собственные значения. Для этого рассмотрим линейное пространство R с базисом , , …, и вектор
, (6)
Матрица линейного оператора в базисе есть
Матрица тождественного оператора в этом же базисе есть
, так как он отображает вектор в , тогда запишем выражение (5) в матричном виде: или
.
В результате получим однородную систему
(7)
Однородная система, всегда совместна. Если r<n имеет не нулевые решения, что возможно при Мn=0,то есть
(8)
Это выражение называется характеристическое уравнение. Решая его найдем собственные числа . Подставив их в систему (7) найдем собственные векторы .