2.8. Дискретизация аналоговых сигналов. Теоре́ма Котельникова.

Дискретизация сообщений по времени – процедура, состоящая в замене несчетного множества мгновенных значений сигнала их счетным (дискретным) множеством, которое содержит информацию о значениях непрерывного сигнала в определенные моменты времени.

При дискретном способе передачи непрерывного сообщения можно сократить время, в течение которого канал связи занят передачей этого сообщения, с Т_с до , где - длительность импульса, применяемого для передачи выборки; можно осуществить одновременную передачу по каналу связи нескольких сообщений (временное уплотнение сигналов).

Наиболее простым является способ дискретизации, основанный на теореме Котельникова.

Теорема Котельникова устанавливает, что если спектр сигнала ограничен максимальной частотой f, то после дискретизации сигнала с частотой не менее 2f можно восстановить исходный непрерывный сигнал по полученному цифровому сигналу абсолютно точно. Для этого нужно выполнить интерполяцию цифрового сигнала "между отсчетами" специальной функцией (Котельникова-Шеннона).

Физический смысл теоремы Котельникова достаточно прост. Если максимальная частота в сигнале равна f, то достаточно на одном периоде этой гармоники иметь минимум 2 отсчета с известными значениями t₁ и t₂, как появляется возможность записать систему из двух уравнений (y₁=a cos 2ft₁ и y₂=a cos 2ft₂) и решить систему относительно 2-х неизвестных – амплитуды а и частоты f этой гармоники. Следовательно, частота дискретизации должна быть в 2 раза больше максимальной частоты f в сигнале. На практике эта теорема имеет огромное значение. Например, известно, что диапазон звуковых сигналов, воспринимаемых человеком, не превышает 20 кГц. Следовательно, при дискретизации записанных звуковых сигналов с частотой не менее 40 кГц мы можем точно восстановить исходный аналоговый сигнал по его цифровым отсчетам, что и выполняется в проигрывателях компакт-дисков для восстановления звука. Частота дискретизации звукового сигнала при записи на компакт-диск составляет 44100 Гц.

Чем выше частота дискретизации, тем более широкий спектр сигнала может быть представлен в дискретном сигнале. Используемые частоты дискретизации звука:

8 000 Гц — телефон, достаточно для речи, кодек Nellymoser;

22 050 Гц — радио;

44 100 Гц — используется в Audio CD;

48 000 Гц — DVD, DAT.

96 000 Гц — DVD-Audio (MLP 5.1)

192 000 Гц — DVD-Audio (MLP 2.0)

2 822 400 Гц — SACD Super audio CD 5.1 — — максимальная на данный момент (2008)

История открытия

Теорема Найквиста (1928 года) «Certain topics in telegraph transmission theory» о требуемой полосе линии связи для передачи импульсного сигнала (частота следования должна быть меньше удвоеной полосы). О возможности полной реконструкции исходного сигнала по дискретным отсчётам речь не идёт.

Теорема была предложена и доказана В. А. Котельниковым в 1933 году в работе «О пропускной способности эфира и проволоки в электросвязи», в которой была сформулирована одна из теорем следующим образом: «Любую функцию f(t), состоящую из частот от 0 до f_c, можно непрерывно передавать с любой точностью при помощи чисел, следующих друг за другом через секунд». Независимо от него эту теорему в 1949 (через 16 лет!) году доказал Клод Шеннон, поэтому в Западной литературе эту теорему часто называют теоремой Шеннона. В 1999 году Международный научный фонд Эдуарда Рейна (Германия) признал приоритет В. А. Котельникова, наградив его премией в номинации «за фундаментальные исследования» за впервые математически точно сформулированную и доказанную в аспекте коммуникационных технологий теорему отсчётов.