14. Запитання для самоконтролю.
Який функціональний ряд називають збіжним на множині ?
Який функціональний ряд називають рівномірно збіжним на множині ?
Наведіть приклад ряду, який є рівномірно збіжним на кожному компакті з деякої області , але не є рівномірно збіжним на .
Сформулюйте і доведіть теорему про голоморфність суми функціонального ряду. У чому полягає її відмінність від аналогічної теореми для дійсних рядів?
Який ряд називається степеневим?
Сформулюйте означення радіуса і круга збіжності степеневого ряду.
Сформулюйте і доведіть теорему Тейлора про розвинення голоморфних функцій в ряд Тейлора.
Сформулюйте теорему про різні еквівалентні означення функції, голоморфної в точці.
Сформулюйте і доведіть теорему єдиності.
Сформулюйте і доведіть принцип максимуму для голоморфних функцій.
Сформулюйте означення максимуму модуля. Запишіть і обґрунтуйте нерівність Коші.
Сформулюйте і доведіть теорему Ліувілля.
Наведіть означення порядку нуля голоморфної функції. Сформулюйте і доведіть теорему про еквівалентність різних означень порядку нуля.
Сформулюйте і доведіть теорему Лорана.
Сформулюйте означення особливої точки функції, голоморфної в області.
Сформулюйте означення ізольованої особливої точки функції, голоморфної в області.
Сформулюйте і доведіть критерій ізольованої особливої точки функції, голоморфної в області.
Яку точку називають полюсом?
Що називають порядком полюса? Який полюс називають простим?
Сформулюйте і доведіть теорему про еквівалентні означення полюса.
Яку точку називають суттєво особливою? Доведіть теорему про еквівалентне означення суттєво особливої точки.
Сформулюйте і доведіть теорему Сохоцького-Вейєрштрасса.
Сформулюйте і доведіть теорему про особливі точки на межі круга збіжності степеневого ряду.
15. Вправи і задачі.
4.1. Знайдіть радіус і круг збіжності степеневого ряду:
1.
. 2.
. 3.
.
4.
. 5.
. 6.
.
7.
. 8.
. 9.
.
10.
. 11.
. 12.
.
13.
. 14.
. 15.
.
16.
. 17.
. 18.
.
19.
. 20.
. 21.
.
22.
. 23.
. 24.
.
25.
. 26.
. 27.
.
28.
. 29.
. 30.
.
31.
. 32.
. 33.
.
34.
. 35.
. 36.
.
37.
. 38.
. 39.
.
40.
. 41.
. 42.
.
43.
. 44.
. 45.
.
46.
. 47.
.
48.
. 49.
.
50.
. 51.
.
52.
. 53.
.
54.
. 55.
.
56.
. 57.
.
4.2. Визначіть поведінку рядів на колі круга збіжності:
1.
.
2.
. 3.
.
4.
. 5.
. 6.
.
7.
.
4.3. Доведіть, що ряд є рівномірно збіжним на E:
1.
.
2.
.
3.
.
4. .
4.4. Знайдіть суми рядів, використовуючи теореми про почленне диференціювання та інтегрування степеневих рядів:
1.
. 2.
.
3.
. 4.
.
4.5.
Використовуючи
рівність
,
справедливу для
,
доведіть
формули:
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
4.6. Запишіть ряд Тейлора функції в околі точки :
1.
,
. 2.
,
.
3.
,
. 4.
,
.
5.
,
. 6.
,
.
7.
,
. 8.
,
.
28.
,
.
9.
,
. 10.
,
.
11.
,
. 12.
,
.
13.
,
. 14.
,
.
15.
,
. 16.
,
.
17.
,
. 18.
,
.
19.
,
.
20.
,
.
21.
,
. 22.
,
.
23.
,
. 24.
,
.
25.
.
26.
.
27.
,
. 28.
,
.
29.
,
. 30.
,
.
31.
,
. 32.
,
.
33.
,
. 34.
,
.
35.
. 36.
.
37.
,
. 38.
,
.
39.
,
.
40.
,
.
41.
.
42.
.
43.
.
44.
.
45.
.
46.
.
4.7.
За даним
розвиненням голоморфної функції
в околі
точки
знайдіть
і
вкажіть
радіуси збіжності рядів:
1.
. 2.
.
3.
. 4.
.
4.8.
Нехай
є нулем
порядку
i
для голоморфних функцій
i
,
відповідно.
Що можна сказати про порядок нуля
для таких функцій:
1.
. 2.
. 3.
. 4.
.
4.9.
Знайдіть
порядок нуля
для функцій:
1.
. 2.
.
3.
. 4.
.
5.
. 6.
.
7.
.
4.10. Знайдіть нулі функції і їх порядки:
1.
. 2.
.
3.
. 4.
.
5.
. 6.
.
7.
. 8.
.
9.
. 10.
.
11.
. 12.
.
13.
. 14.
.
15.
. 16.
.
17.
. 18.
.
19.
. 20.
.
21.
. 22.
.
23.
.
24.
.
25.
.
26.
.
27.
.
28.
.
29.
.
30.
.
4.11.
Функція
має нескінченну послідовність нулів
,
збіжну до
,
але
.
Чи не
суперечить цей факт теоремі єдиності?
4.12.
Чи існує голоморфна в деякому околі
точки
функція
,
яка задовольняє вказану умову?
1.
. 2.
.
3.
. 4.
.
5.
.
6.
.
7.
8.
.
9.
.
10.
.
11.
.
12.
.
13.
.
14.
.
15.
.
16.
.
17.
.
18.
.
4.13.
Знайдіть
функцію
(якщо вона існує), голоморфну в крузі
:
(тут
)
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
4.14. Знайдіть кільце збіжності узагальненого степеневого ряду:
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
6.
.
7.
.
8.
.
9.
.
10.
.
11.
.
12.
.
13.
.
14.
.
15.
.
16.
.
17.
.
18.
.
19.
.
20.
.
21.
.
22.
.
23.
.
24.
.
25.
.
26.
.
27.
.
28.
.
29.
.
30.
.
31.
.
32.
.
33.
.
34.
.
35.
.
36.
.
37.
. 38.
.
39.
.
40.
.
41.
.
42.
.
4.15. Запишіть ряд Лорана для функції в околі точки або у вказаному кільці:
1.
,
. 2.
,
.
3. , . 4. , .
5.
,
. 6.
,
.
7.
. 8.
.
9.
. 10.
.
11.
. 12.
.
13.
,
. 14.
,
.
15.
,
.
16.
,
.
17.
,
.
18.
,
.
19.
,
.
20.
,
.
21.
,
.
22.
,
.
23.
,
.
24.
,
.
25.
,
.
26.
,
.
4.16. Визначіть правильну частину ряду Лорана функції в околі точки :
1.
. 2.
.
3.
. 4.
.
5.
. 6.
.
7.
.
4.17. Знайдіть головну частину ряду Лорана функції в кільці:
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
7.
.
8.
.
4.18.
Знайдіть
всеможливі розвинення функції
в узагальнений степеневий ряд за
степенями
:
1.
,
. 2.
,
.
3.
,
. 4.
.
5.
. 6.
,
.
4.19. Доведіть, що точка є усувною особливою точкою функції f:
1.
. 2.
.
3.
. 4.
.
5.
. 6.
.
7.
. 8.
.
9.
. 10.
.
11.
. 12.
.
13.
. 14.
.
15.
. 16.
.
17.
. 18.
.
19.
. 20.
.
21.
. 22.
.
4.20. Знайдіть полюси функції f і визначіть їх порядок:
1.
. 2.
.
3.
. 4.
.
5.
. 6.
.
7.
. 8.
.
9.
. 10.
.
4.21. Доведіть, що точка є істотно особливою точкою для функції f:
1.
.
2.
.
3.
. 4.
.
5.
. 6.
.
7.
. 8.
.
9. .
4.22. З’ясуйте характер точки для функції f:
1.
. 2.
.
3.
. 4.
.
5.
. 6.
.
4.23. З’ясуйте характер точки для функції f:
1.
. 2.
.
3.
. 4.
.
5.
.
4.24. Нехай функції i мають в точці полюси порядку i , відповідно. Яку особливість матиме в точці кожна з функцій:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
(
,
–
цілі
невід’ємні числа ).
4.25.
Нехай
– істотно особлива точка для функцій
i
.
Довести, що
– істотно особлива точка для кожної з
функцій (
):
a)
;
б)
;
в)
.
4.26.
Нехай
– істотно особлива точка для функції
.
Чим є
для функції
?
4.27.
Нехай
і
– многочлени степенів
i
,
відповідно.
Яку особливість в
мають функції:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
.
4.28. Знайдіть всі ізольовані особливі точки функції f та з’ясуйте їх характер:
1.
. 2.
.
3.
. 4.
.
5.
. 6.
.
7.
. 8.
.
9.
. 10.
.
11.
. 12.
.
13.
. 14.
.
15.
. 16.
.
17.
. 18.
.
19.
. 20.
.
21.
. 22.
.
23.
. 24.
.
25.
. 26.
.
27.
. 28.
.
29.
. 30.
.
31.
. 32.
.
33.
. 34.
.
35.
. 36.
.
37.
. 38.
.
39.
. 40.
.
41.
. 42.
.
4.29.
Знайдіть
особливі точки функції
f
в
і з’ясуйте
їх характер:
1.
. 2.
. 3.
.
4.
. 5.
. 6.
.
7.
. 8.
. 9.
.
4.30. Не розвиваючи функцію в ряд Тейлора в околі точки , знайдіть його радіус збіжності або доведіть, що функція в цьому околі в ряд Тейлора не розвивається:
1.
,
. 2.
,
.
3.
,
. 4.
,
.
5.
,
. 6.
,
.
7.
,
. 8.
,
.
9.
,
. 10.
,
.