- •Розділ 1. Множини комплексних чисел та функції
- •Оскільки
- •Приклад 4. Знайдемо . Оскільки і , то , , .
- •8. Степінь з довільним показником. За означенням
- •Гіперболічним косинусом комплексного числа називається комплексне число
- •23. Запитання для самоконтролю.
- •24. Вправи і задачі.
- •1.24. З’ясуйте можливість визначення значення функції в точці так, щоб продовжена функція була неперервною в цій точці:
Розділ 1
Розділ 1. Множини комплексних чисел та функції
1. Означення і найпростіші властивості комплексних чисел. Дійсне число будемо позначати так: . Зокрема, , , . Комплексним числом z називається упорядкована пара дійсних чисел та . Сумою і добутком комплексних чисел і називаються комплексні числа , відповідно. Число називається уявною одиницею. Легко переконуємось, що і кожне комплексне число можна записати в алгебраїчній формі . В алгебраїчній формі комплексні числа додаються і множаться відповідно так:
, .
Число називається дійсною частиною комплексного числа і позначається , а число – уявною частиною і позначається . Два комплексні числа називаються рівними, якщо рівними є їх дійсні та уявні частини. Число , називається комплексно спряженим до числа . Число називається модулем комплексного числа . Будемо використовувати наступні співвідношення
, ,
,
які випливають безпосередньо з означення та нерівності . Часткою комплексних чисел і називається таке комплексне число , що . З означення випливає, що
.
Різницею двох комплексних і називається таке комплексне число , що . З означення випливає, що . Множину всіх комплексних чисел позначають через .
Приклад 1. Якщо , , то
.
2. Арифметичні операції над множинами. Дві множини називаються рівними, якщо вони складаються з однакових елементів. Прямою сумою, прямою різницею, прямим добутком та прямою часткою двох числових множин та називаються множини , , і , елементами яких є, відповідно, всі суми , різниці , добутки та частки , де і . Добутком числової множини на число називається множина . Прямим степенем числових множин та та називається множина . Зокрема, множина , де , складається з всіх елементів , де . Інколи пишуть замість , хоч, наприклад, позначення використовують і для декартового квадрата множини .
Приклад 1. Якщо і , то , , , , .
3. Аргумент комплексного числа. Кожній точці площини відповідає одне і тільки одне комплексне число . Тому множину комплексних чисел називають ще комплексною площиною і її, як і множину всіх комплексних чисел позначають через . Кожному комплексному числу відповідає єдиний вектор на площині з координатами і початком в точці . Цей вектор називається радіусом-вектором комплексного числа . Тоді – це довжина радіуса-вектора комплексного числа . Кут між векторами і вимірюваний від вектора , називається аргументом комплексного числа . Число не має
y
x
x
O
Рис. 1
аргументу (інколи зручно вважати, що кожне дійсне число є аргументом числа 0). Аргумент комплексного числа визначається не однозначно. Множину всіх аргументів числа позначають через . Значення , яке лежить в межах позначають інколи через . Значення , яке належить проміжку називається головним значенням і позначається через . Справедливі формули:
,
,
Останні рівності слід розуміти як рівності між множинами (дві множини називаються рівними, якщо вони складаються з однакових елементів). Для знаходження головного значення аргументу числа справедлива формула
(1)
Точніше кажучи, головним значенням аргументу комплексного числа називається число , визначене рівністю (1). Множина називається множиною аргументів числа . Інколи головне значення аргументу береться з проміжку (тоді формулу (1) потрібно відповідним чином змінити), а символами “ ” і “ ” позначають довільний елемент множини аргументів та інші речі. Тому в кожній конкретній ситуації потрібно з’ясовувати зміст цих символів.
Оскільки для кожного і кожного маємо i , де , то кожне комплексне число можна записати в тригонометричній формі
, (2)
де . Навпаки, якщо записане у формі (2), де i , то i . Якщо
, ,
то
,
.
Отож, справедливі формули (перші дві рівності слід розуміти як рівності між множинами)
, ,
,
де , , . Остання формула називається формулою Муавра. Два комплексні числа і називаються рівними, якщо рівними є їх дійсні і уявні частини. Два комплексні числа і є рівними тоді і тільки тоді, коли рівними є їх модулі, а аргументи відрізняються на доданок .
Множина всіх комплексних чисел є метричним простором з відстанню . Водночас, на множині комплексних чисел не вводиться поняття порядку, тобто не можна, взагалі кажучи, говорити, що одне з комплексних чисел є більшим за інше. В той же час, кожне дійсне число х є комплексним числом .
Приклад 1. , , , .
Приклад 2. Знайдемо модуль та головне значення аргументу числа . Нехай . З малюнка видно, що . До цього ж результату приходимо скориставшись формулою (1). Згідно з нею
,
б
iy
-3
x
-
7i
Z
Рис. 2
4. Експонента комплексного числа і показникова його форма. За означенням для довільного комплексного числа
. (1)
Цією рівністю визначається для кожного числа . Якщо , то . Тому для використовують також позначення . Безпосередньо з означення і властивостей функції , та в дійсній області випливає, що (тут , , , )
, .