Зависимость между моментами инерции относительно параллельных осей, из которых одна – центральная

Оси инерции, проходящие через центр тяжести сечения называют центральными осями. Рассмотрим произвольное сечение (рис. 21). Проведем центральную ось OY. Пусть Jy - момент инерции относительно этой оси. Проведем в плоскости сечения ось Y₁ параллельно оси Y на расстоянии а от неё. Найдем зависимость между J_y и J^’_y –моментами инерции относительно осей Y и Y₁. , а , где z₁ = z + a, тогда:

S _y - статический момент равен нулю, так как ось y проходит через центр тяжести сечения.

Таким образом, момент инерции относительно любой оси равен моменту инерции относительно центральной оси, проведенной параллельно данной, плюс произведение площади фигуры на квадрат расстояния между осями.

,

(4.6)

Найдем центробежный момент инерции относительно осей y₁ и z₁, параллельных центральным. , , где у₁ = у + b, а z₁ = z + a, тогда

.

(4.7)

Центробежный момент инерции относительно системы взаимно перпендикулярных осей, параллельных центральным осям, равен центробежному моменту инерции относительно этих центральных осей плюс произведение из площади сечения на координаты её центра тяжести относительно новых осей инерции.

Зависимость между моментами инерции при повороте осей

Р ассмотрим произвольное сечение (рис.22) и проведем через центр тяжести О две взаимно перпендикулярные оси oy и oz. Пусть осевые моменты инерции относительно этих осей Jy и Jz . Пусть система координатных осей Oy₁Z₁ повернута относительно системы OyZ на угол . Положительное направление этого угла будем считать при повороте осей вокруг точки О против хода часовой стрелки. Выразим моменты J’_y и J’_z относительно системы координат Oy₁Z₁ через моменты инерции J_y и J_z:

Из рисунка видно, что координаты площадки dS в системе повернутых осей y1Oz1 будут:

Y₁=OE + EC=OE+BD=ycos + zsin,

Z₁=AD - DC=AD - BE= zcos - ysin.

	(4.8)
.	(4.9)

Оси, относительно которых центробежный момент инерции обращается в нуль, называются главными осями инерции.

Если начало такой системы помещено в центре тяжести сечения, то это будут главные центральные оси инерции. Эти оси обозначаются Y0 и Z0, для них J_y0z0=0.

Общий способ вычисления моментов инерции сложных сечений

П ри проверке прочности частей конструкций часто приходится встречаться с сечениями сложной формы, например, швеллер, двутавр, уголок и другие, ещё более сложные сечения. Все эти сечения можно разбить на простейшие.

Рассмотрим произвольную плоскую фигуру, изображающую плоское сечение (рис. 23). Момент инерции этой фигуры относительно оси y равен:

.

Разобьём взятую площадь на четыре части: S₁, S₂, S₃ и S₄. Сгруппируем подынтегральные слагаемые так, чтобы произвести суммирование отдельно для каждой из четырёх площадей. Тогда начальный интеграл разобьётся на четыре интеграла, каждый из которых представляет собой момент инерции соответствующей площади относительно оси y:

,

(4.10)

где J_y1, J_y2, J_y3, J_y4 – моменты инерции относительно оси y площадей S₁, S₂, S₃ и S₄, соответственно.

Таким образом, момент инерции сложной фигуры равен сумме моментов инерции её составных частей.