3.12. Задача про неперервне нарахування відсотків

Нехай початковий внесок в банк складав Р грошових одиниць. Банк виплачує щорічно R% річних. Необхідно знайти величину внеску S через t років, нараховуючи відсотки неперервно.

Відомо, що при нарахуванні складних відсотків величина внеску обчислюється за формулою

,

де – відсоткова ставка.

Якщо нараховувати відсотки не один раз у році, а n разів, то відсоткова ставка буде , а величина внеску за t років при nt нарахуваннях буде складати

.

Будемо вважати, що відсотки нараховуються неперервно, тобто кількість нарахувань протягом року . Тоді величину внеску за t років можна знайти скориставшись другою важливою границею

.

Формулу

(12)

називають формулою неперервного нарахування відсотків.

Щоб відчути різницю результатів нарахування в залежності від способу нарахування відсотків, у табл. 1 наведено величину внесків S, обчислені при Р=1 грошовій одиниці, , років.

3.13. Неперервність функції

Поняття неперервної функції, так само як і поняття границі, є одним із основних понять математичного аналізу.

3.13.1. Неперервність функції в точці і на відрізку

Означення 1. Функція , визначена в деякому околі точки , називається неперервною в цій точці, якщо:

1. існує при та в деякому околі цієї точки;

1. існує скінчена границя ;

2. незалежно від способу прямування до , тобто .

Виходячи з означення неперервності функції і границі числової послідовності, можемо записати

.

Означення 2. Якщо функція неперервна в кожній точці деякого інтервалу , то її називають неперервною в інтервалі .

Означення 3. Якщо функція визначена при і , то кажуть, що в точці неперервна справа.

Означення 4. Якщо функція визначена при і , то кажуть, що в точці неперервна зліва.

Означення 5. Якщо функція неперервна в кожній точці інтервалу та неперервна на кінцях інтервалу, відповідно зліва і справа, то функція називається неперервною на відрізку .

Сформулюємо ще одне означення неперервності.

Нехай задано два значення аргументу і або і , або і . Приростом аргументу називається різниця вигляду

або , або .

При маємо , а при – .

О

Рис. 5

значення 6. Різницю значень функцій , яка викликана зміною аргументу, називають прирос­том функції і позначають (рис. 5), тобто

Означення 7. Функція називається неперервною в точці , якщо вона визначена в цій точці і нескінченно малому приросту аргументу відповідає нескінченно малий приріст функції:

.

У дійсності остання рівність означає, що

або .

Приклад. Знайти інтервал неперервності функції .

Будемо користуватися означенням 6. Візьмемо довільну точку і позначимо через приріст аргументу х.

Тоді функція одержить приріст .

Знайдемо .

Отже, функція є неперервною на всій дійсній осі.

3.13.2. Розрив функції. Класифікація точок розриву

Означення8. Якщо при деякому не виконується хоча би одна із умов означення 1 неперервної функції, то кажуть, що функція в цій точці має розрив, а точка

називається точкою розриву функції.

Означення 9. Якщо функція не визначена в точці (рис.6,а) або визначена, але має місце співвідношення (рис.6,б), то розрив в точці називається усувним.

В цьому випадку функцію можна довизначити або змінити її значення в точці так, щоб виконувалась рівність

.

Рис. 6

Означення 10. Якщо функція в точці має скінчені однобічні границі, але вони не рівні між собою, тобто то кажуть, що функція має в точці неусувний. розрив першого роду, а різницю називають стрибком функції.

О значення 11. Якщо хоча би одна з однобічних границь не існує (рис.7,а), або дорівнює нескінченності (рис.7,б), то кажуть, що в точці функція має неусувний розрив другого роду.