4.3. Цепочки преобразований координат

Представим себе цепочку вложенных систем координат (рис. 4.8).

Система координат СК0 привязана к СК1, следовательно, должен быть известен координатный фрейм F₀₁, система координат СК1, в свою очередь, привязана к СК2 и должен быть известен координатный фрейм F₁₂ и т.д.

Эту же цепочку вложений СК будем изображать так:

Пусть в СК0 задана точка A₀. Найти матрицу преобразования F₀₃ и представление этой же точки в СК3.

– точка A в СК1;

– точка A в СК2;

–точка A в СК3;

F₀₃ = F₂₃F₁₂F₀₁ – матрица преобразования из СК0 в СК3.

В общем случае матрица преобразования из СК0 в СКN:

F_0N = F_(N–1)N  F₂₃F₁₂F₀₁. (4.1)

Обратная задача. Пусть в СК3 задана точка A₃. Найти матрицу преобразования F₃₀ и представление этой же точки в СК0.

Если известны F₀₁, F₁₂, F₂₃, то легко находятся матрицы , и как обратные известным, тогда:

;

;

( – матрица преобразования из СК3 в СК0).

В общем случае:

F_N0 = F₁₀F₂₁F₃₂ F_N((N-1). (4.2)

Как видим, все формулы преобразования координат не отличаются от формул преобразования модели. Подробнее рассмотрим этот вопрос позже.

4.4. Элементарные матрицы преобразования координат в 2d

Рис. 4.9. Элементарные матрицы преобразования координат в 2D

4.5. Преобразование координат и координатный фрейм в 3d

В 3D матрица F₁₀ преобразования координат из СК1 в СК0 или, что то же, координатный фрейм, задающий привязку СК1 относительно СК0, имеет вид:

.

Как и в 2D, здесь

– точка положения системы координат СК1 относительно СК0:

– единичный вектор оси X₁ СК1 относительно СК0;

– единичный вектор оси Y₁ СК1 относительно СК0.

– единичный вектор оси Z₁ СК1 относительно СК0.

Все ранее полученные соотношения для 2D справедливы и для 3D.

4.6. Элементарные матрицы преобразования координат в 3d

Как известно, все элементарные матрицы преобразования координат и координатные фреймы в 2D и 3D совпадают с определенными ранее типовыми элементарными матрицами T(); R(); S().

В преобразовании S(s_x, s_y, s_z) имеется важный частный случай. Пусть , при этом, .

Это случай, когда в СК1 оси X₁ и Y₁ совпадают с X₀ и Y₀, а координата Z₁ всегда равна нулю. Но по существу это преобразование из 3D в 2D, т.е. получение проекций 3D объекта на плоскость X₁Y₁, совпадающую с плоскостью X₀Y₀. Поэтому о таком преобразовании можно говорить, как о преобразовании проецирования на плоскость X₀Y₀.

При этом не существует, поскольку . Это естественно, поскольку после операции проецирования невозможно однозначно восстановить Z-ю координату исходной точки.

4.7. Общность задач преобразования модели и преобразования координат

4.7.1. Локальные системы координат

Рассмотрим несколько примеров.

П ример 1.

glTranslatef(a, b, 0); // VM = T(a,b)

glBegin(GL_POINTS);

glVertex2f(c, d);

glEnd();

Можно провести два равноценных толкования этого фрагмента программы.

1) Точка между операторными скобками A₀ задана в МСК. Матрица VМ здесь принимает значение VM=T(a, b). Первая операция обработки точки в конвейере A₁=VM∙A₀=T(a, b) ∙A₀ переводит точку A из положения A₀ в положение A₁. Следовательно, матрицу VM следует понимать как матрицу преобразования модели, т.е. VM=T(a, b)=M₀₁ (рис. 4.12).

2 ) Та же точка считается заданной в системе координат пользователя, будем такую СК называть локальной (ЛСК). ЛСК свободна, она не привязана ни к какой СК, нигде не прописана в программе (возможно только в комментариях) и существует только в представлении программиста. На рис. 4.13 показано, как та же точка из рассматриваемого примера задана в ЛСК.

A_L – это та же точка, заданная между операторными скобками в примере 1, но, чтобы подчеркнуть то обстоятельство, что она задана в ЛСК, помечаем ее индексом L.

Матрица VM опять принимает значение VM=T(a,b), но понимать ее будем как координатный фрейм, задающий привязку ЛСК к МСК, т.е. VM=T(a,b)=F_LM.

3) Вспомним, что координатный фрейм F_LM одновременно является матрицей преобразования координат из ЛСК в МСК, поэтому операцию

A_M = VM∙A_L=T(a,b)∙A_l=F_LM∙A_L

б удем понимать как преобразование точки A_L из ЛСК в точку A_M в МСК. Где при этом в МСК будет точка A_M при таком толковании рассматриваемого примера? Ответ на этот вопрос дает рис. 4.14. Результат тот же, как и при первом толковании программы из примера 1.

Пример 2.

glRotatef(φ,0,0,1); // VM = R(φ)

glBegin(GL_POINTS);

glVertex2f(c,0);

glEnd();

О пять два толкования этого текста.

1) A₀ – начальное положение точки в МСК. VM=R(φ). Первая операция в конвейере обработки переводит точку из положения A₀ в положение A₁:

A₁=VM∙A₀= R(φ)∙A₀=M₀₁∙A₀.

На рис. 4.15 показано положение точки A₀ и A₁.

2) Точка в приведенном Примере 2 задана в ЛСК, обозначим ее A_L. VM=R(φ)=F_LM – координатный фрейм, задающий привязку ЛСК к МСК, одновременно это матрица преобразования координат точки A_L из ЛСК в координаты точки A_M МСК.

Результат первой операции в конвейере обработки:

A_M = VM∙A_L=R(φ)∙A_L=F_LM∙A_L.

П оложение точки A_M в МСК в результате таких преобразований приведено на рис. 4.16. Как видим результат тот же, что и в примере 2, п.1.

Пример 3.

glScalef(2, 2, 1); // VM = S(2,2)

glBegin(GL_POINTS);

glVertex2f(3, 2);

glEnd();

1) Точка задана в МСК. VM осуществляет масштабирование и переводит точку из положения A₀ в положение A₁ в МСК. Результат выполнения операции

; .

2) Точка задана в ЛСК. VM – координатный фрейм, который понимаем как матрицу преобразования из ЛСК в МСК. Легко убедиться, что положение точки в МСК будет то же, что и в предыдущем случае.

Пример 4.

void fig( ){ }

void display( )

{

glTranslatef(a, b, 0); // VM = T(a,b)

glRotatef(φ, 0, 0, 1); // VM = T(a,b)R(φ)

glScalef(1, -1, 1); // VM = T(a,b)R(φ)S(1,–1)

fig( );

}

1) Фигура fig построена в МСК; VM – матрица преобразования модели над каждой точкой фигуры fig. В данном случае над каждой точкой fig осуществляется масштабирование S, вращение R и перемещение T.

Положение каждой точки fig в МСК

.

2 ) Фигура fig построена в ЛСК. Матрица VM понимается как координатный фрейм F_LM, описывающий привязку ЛСК относительно МСК.

Операция над каждой точкой fig

есть преобразование точек из ЛСК в ту же точку в МСК.

,

где – положение каждой точки fig в МСК.