5.4. Контрольные вопросы
Записать задачу Коши для уравнения теплопроводности в области .
Записать задачу Коши для уравнения колебаний в области .
Записать первую краевую задачу для уравнения колебаний в области .
Записать смешанную краевую задачу для уравнения колебаний в области .
Записать вторую краевую задачу для уравнения теплопроводности в области .
Записать краевую задачу для уравнения Пуассона в области .
Привести уравнение к каноническому виду в каждой из областей, где его тип сохраняется:
Решить задачу Штурма-Лиувилля
Решить задачу Штурма-Лиувилля
5.5. Компьютерный практикум
Пример 5.1.
Решим методом Фурье краевую задачу для неоднородного уравнения гиперболического типа
, (5.49)
, (5.50)
. (5.51)
Подберем вначале такую функцию , чтобы она удовлетворяла граничным условиям (5.51) и однородному УЧП (5.49). Пусть, например, , тогда
Тогда функция
(5.52)
удовлетворяет уравнению
(5.53)
однородным граничным условиям
(5.54)
и нулевым начальным условиям
. (5.55)
Применяя общую схему метода Фурье для решения однородного уравнения при условиях (5.54), (5.55) полагаем . Приходим к задаче Штурма-Лиувилля
Решая ее, находим собственные значения и соответствующие собственные функции
. (5.56)
Решение задачи (5.53) – (5.55) ищем в виде ряда
, (5.57)
где . (5.58)
Подставляя (5.57) в (5.53) имеем
. (5.59)
Для нахождения функций разложим функцию 5.1. в ряд Фурье по системе функций (5.56) на интервале (0, 1)
. (5.60)
Так как , то , и из (5.59) и (5.60) получаем
. (5.61)
Общее решение уравнения (5.61) будет . Используя условия (5.59), получим . Подставляя в (5.57) с учетом (5.52) находим решение исходной задачи (5.49)—(5.51):
, где .
Строим график решения при различных x и в Mathcad.
Пример 5.2.
Решим методом Фурье краевую задачу для неоднородного уравнения параболического типа.
, (5.62)
, (5.63)
. (5.64)
Подберем сначала такую функцию , чтобы она удовлетворяла граничным условиям (5.64) и начальному условию (5.63). Пусть, например, , тогда
.
Поэтому функция
(5.65)
удовлетворяет уравнению
. (5.66)
и условиям
. (5.67)
Применяя метод Фурье для решения однородного уравнения при условиях (5.67), полагаем . Приходим к задаче Штурма-Лиувилля
собственными значениями которой являются , а собственными функциями
. (5.68)
Решение задач (5.66), (5.67) ищем в виде
. (5.69)
Подставляя (6.69) в (6.66), получаем
. (6.70)
Разложим функцию в ряд Фурье по системе функций (5.68) на интервале (0, 1):
. (5.71)
Так как , то из (5.70) и (5.71) находим
(5.72)
при условии . (5.73)
Решением задач Коши (5.51), (5.52) является
. (5.74)
Из (5.65), (5.69), (5.73) находим решение исходной задачи (5.62)—(5.64):
, где .
Строим график решения при различных в Mathcad.