3.2.2. Полиномиальная регрессия

Одномерная полиномиальная регрессия с произвольной степенью n полинома и с произвольными координатами отсчетов в Mathcad выполняется функциями:

regress(X,Y,n) – вычисляет вектор S для функции interp(…), в составе которого находятся коэффициенты k_i полинома n-й степени;

cinterp(S, X, Y, x) – возвращает значения функции аппроксимации по координатам х.

Функция interp(…) реализует вычисления по формуле:

f(x) = k₀ + k₁·x¹ + k₂·x² + … + k_n·xⁿ ≡ k_i·xⁱ.

Значения коэффициентов k_i могут быть извлечены из вектора S функцией submatrix (S, 3, length(S), 0, 0).

На рис. 3.3. приведен пример полиномиальной регрессии с использованием полиномов 2, 3 и 8-й степени. Степень полинома обычно устанавливают не более 4-6 с последовательным повышением степени, контролируя среднеквадратическое отклонение функции аппроксимации от фактических данных. Нетрудно заметить, что по мере повышения степени полинома функция аппроксимации приближается к фактическим данным, а при степени полинома, равной количеству отсчетов данных минус 1, вообще превращается в функцию интерполяции данных, что не соответствует задачам регрессии.

Рис. 3.3. Одномерная полиномиальная регрессия

3.2.3. Типовые функции регрессии Mathcad

Для анализа эмпирических данных можно использовать некоторые простые типовые формулы.

Для простых типовых формул аппроксимации предусмотрен ряд функций регрессии, в которых параметры функций подбираются программой Mathcad самостоятельно. К ним относятся следующие функции:

e xpfit(X,Y,S) – возвращает вектор, содержащий коэффициенты a, b и c экспоненциальной функции y(x) = a·exp(b·x)+c. В вектор S вводятся начальные значения коэффициентов a, b и c первого приближения. Для ориентировки по форме аппроксимирующих функций и задания соответствующих начальных значений коэффициентов на рисунках слева приводится вид функций при постоянных значениях коэффициентов a и c.

l gsfit(X,Y,S) – то же, для выражения y(x) = a/(1+c·exp(b·x)).

p wrfit(X,Y,S) – то же, для выражения y(x) = a·x^b+c.

sinfit(X,Y,S) – то же, для выражения y(x) = a·sin(x+b)+c. Подбирает коэффициенты для синусоидальной функции регрессии. Рисунок синусоиды общеизвестен.

l ogfit(X,Y) – то же, для выражения y(x)=a·ln(x+b)+c. Задания начального приближения не требуется.

medfit(X,Y) – то же, для выражения y(x) = a+b·x, т.е. для функции линейной регрессии. Задания начального приближения также не требуется. График – прямая линия.

На рис. 3.6 приведен пример реализации регрессии экспоненциального вида: Y(t)=a*e**b*t+c, а также вычисляются отклонения исходных значений функции от кривой регрессии в каждой точке и величина среднеквадратичного отклонения.

3.3. Контрольные вопросы

1. Что такое аппроксимация функций?

2. Какие виды аппроксимации вам известны

3. Для чего нужна интерполяция функций?

4. Что такое экстраполяция?

5. Охарактеризуйте виды интерполяции.

6. Сколько интерполяционных полиномов можно построить при заданном наборе узлов интерполяции?

7. Чем обуславливается выбор способов интерполяции?

8. Какие методы локальной интерполяции вам известны?

9. Какой из них наименее точный?

10. Какой метод локальной интерполяции проводится по трем точкам?

11. В чем преимущества сплайн-интерполяции по сравнению с интерполяционными полиномами?

12. Какая функция MathCAD реализует линейную интерполяцию?

13. Какие функции кубической сплайн-интерполяции вам известны, охарактеризуйте последовательность их использования?

14. Объясните разницу между глобальной и кусочно-полиномиальной интерполяцией на примере cплайн-функции.

15. Исправьте ошибки , допущенные программой Mathcad, на графиках функций на рисунках 3.5 (слева и справа).

16. В чем сущность метода наименьших квадратов?

17. Какие функции MathCAD реализует линейную аппроксимацию методом наименьших квадратов?

18. Какой диапазон изменения значений коэффициента корреляции?

19. Что такое эмпирическая формула и как ее подобрать?

20. Перечислите типовые функции регрессии.