Корреляционные функции случайных процессов

Как отмечалось в разделе «Вероятностные характеристики случайных процес­сов», одномерной плотности вероятности недостаточно для описания поведения случайного процесса во времени. Гораздо больше сведений можно получить, рас­полагая двумя сечениями случайного процесса в произвольные моменты време­ни t₁ и t₂ (см. рис. 1.29). Совокупность этих двух сечений образует двумерную случайную величину {X(t₁), X(t₂)}, которая описывается двумерной плотностью вероятности р(х₁, х₂, t₁, t₂). Произведение р(х₁, х₂, t₁, t₂)dx₁dx₂ представляет собой вероятность того, что реализация случайного процесса X(t) в момент времени t₁ попадает в бесконечно малый интервал шириной dx₁ в окрестности x₁, а в мо­мент времени t₂ — в бесконечно малый интервал шириной dх₂ в окрестности х₂:

Естественным обобщением является n-мерное сечение случайного процесса, приводящее к n-мерной плотности вероятности p(x₁, x₂, …, x_n, t₁, t₂, …, t_n). При n→∞ такая функция является исчерпывающей вероятностной характеристикой случайного процесса.

Описание свойств случайных процессов с помощью многомерных плотностей ве­роятности высокой размерности может быть весьма подробным, однако на этом пути часто встречаются серьезные математические трудности. К счастью многие задачи, связанные с описанием случайных сигналов, удается решить на основе двумерной плотности вероятности.

В частности, задание двумерной плотности вероятности р(х₁, х₂, t₁, t₂) позволяет определить важную характеристику случайного процесса — его ковариационную функцию

K_x = (t₁, t₂) = M{x(t₁)x(t₂)}.

Согласно этому определению, ковариационная функция случайного процесса Х(t) представляет собой статистически усредненное произведение значений слу­чайной функции X(t) в моменты времени t₁ и t₂.

Для каждой реализации случайного процесса произведение х(t₁)х(t₂) является некоторым числом. Совокупность реализаций образует множество случайных чисел, распределение которых характеризуется двумерной плотностью вероят­ности р(х₁, х₂, t₁, t₂). Если эта плотность вероятности известна, операция усредне­ния по множеству осуществляется по формуле

Часто при анализе случайных процессов основной интерес представляет их флуктуационная составляющая. В таких случаях применяется корреляционная функ­ция, представляющая собой статистически усредненное произведение значений центрированной случайной функции X(t) - m_x(t) в моменты времени t₁ и t₂.

Корреляционная функция характеризует степень статистической связи тех значе­ний случайного процесса, которые наблюдаются при t = t₁ t= t₂. При t₁ = t₂ = t последнее выражение соответствует определению дисперсии случайного процес­са X(t) (см. формулу (133)). Следовательно, при совмещении сечений функция корреляции равна дисперсии:

(1.38)

ЗАМЕЧАНИЕ

Так сложилось, что в иностранной литературе используется обратная терминология — называется корреляционной (correlation). a ковариационной функцией (соvariance). Во избежание недоразумений об этом следует помнить при работе с зарубеж­ными источниками. Впрочем, при анализе центрированных (имеющих нулевое математи­ческое ожидание) случайных процессов корреляционная и ковариационная функции совпадают.

В качестве примера рассчитаем корреляционную функцию гармонического сигнала со случайной равномерно распределенной начальной фазой (см. раздел «Модели случайных процессов» ранее в этой главе).

Можно легко убедиться, что данный случайный процесс является центрирован­ным, то есть его математическое ожидание не зависит от времени и равно нулю:

(1.39)

Поэтому ковариационная и корреляционная функции данного процесса совпа­дают и могут быть найдены следующим образом (поскольку реализации данно­го случайного процесса представляют собой функции, зависящие от одной слу­чайной величины, для усреднения произведения пет необходимости прибегать к двумерной плотности вероятности — достаточно воспользоваться формулой (1.32), позволяющей произвести усреднение произвольной функции от случай­ной величины):

Здесь в первом слагаемом интегрирование производится по двум периодам функ­ции cos, поэтому данный интеграл равен нулю. Во втором слагаемом подынтегральная функция не зависит от переменной интегрирования φ, так что резуль­тат интегрирования равен произведению подынтегрального выражения и длины промежутка интегрирования, равной 2π. Окончательно получаем

(1.40)

Как видите, корреляционная функция данного случайного процесса гармониче­ски зависит от расстояния между анализируемыми моментами времени. При совпадении моментов времени t₁ и t₂ мы получаем величину дисперсии случай­ного процесса:

(1.41)