Раздел 5.

Воздействие

детерминированных сигналов на частотно-избирательные системы

В радиотехнике с первых шагов ее становления по­лучил широкое применение способ выделения полезных сигналов с помощью частотно-избирательных линейных цепей. Такие цепи пропускают на выход лишь колебания с частотами, которые лежат в относительно узкой полосе вокруг некоторой центральной частоты. Частотная фильтра­ция полезного сигнала особенно эффективна в том случае, если обрабатываемый сигнал в достаточной степени узко-полосен. Примерами узкополосных сигналов служат разно­образные модулированные колебания, изученные в гл. 4.

Линейные частотно-избирательные цепи или, как их часто называют, линейные полосовые фильтры, обладают рядом специфических свойств. Для анализа прохождения сигналов через такие цепи в радиотехнике созданы методы, с которыми мы познакомимся в этой главе.

Лекция10. Некоторые модели

частотно-избирательных цепей

Простейшим полосовым фильтром является колебатель­ный контур, образованный элементами L, С и R. В теории цепей подробно изучаются последовательные и параллельные контуры [3]. Не приводя подробных выкладок, напомним основные положения, которыми будем пользоваться в даль­нейшем.

Частотные характеристики параллельного колебательного контура. В окрестности резонансной частоты со_ри = данная колебательная система может быть описана эквивалентной схемой, которая состоит из параллельного соединения элементов L, С и активного резонансного сопротивления

Rрез = pQ, (9.1)

где — характеристическое сопротивление контура;

Q — добротность колебательной системы.

Свойства контура определяются зависимостью его вход­ного сопротивления от частоты. В качестве аргумента удобно использовать безразмерную обобщенную расстройку

При этом входное сопротивление

Если Q» 1, то в узкой полосе вблизи резонансной частоты для расчета обобщенной расстройки следует поль­зоваться приближенной формулой

АЧХ параллельного колебательного контура отображается так называемой резонансной кривой. Если добротность достаточно высока, то резонансная кривая практически симметрична относительно частоты _рез. Уравнение резонанс­ной кривой

i

Интервал на оси частот (Гц) между точками, в которых \Z\ уменьшается от значения Rрез ДО R_pe3,/\/2 = 0J07R_pe3, называют полосой пропускания контура:

Резкое снижение модуля сопротивления параллельного контура при расстройке относительно резонансной частоты позволяет использовать эту цепь для частотной фильтра­ции сигналов.

Часто используют параллельные колебательные контуры с неполным включением. Внешние цепи могут подключаться либо к отводу в индуктивном элементе, либо к средней точке емкостного делителя. Входное сопротивление такого контура вычисляют по формуле (9.3), в которую следует подставить величину резонансного сопротивления

где /с_В1(Л — коэффициент включения контура.

Нуль-полюсное представление характеристик колебатель­ного контура. В рамках операторного метода динамические свойства параллельного колебательного контура с потерями можно описать, задав его входную проводимость

или входное сопротивление

Заметив, что есть резонансная частота кон-

тура без потерь и перепишем

выражение (9.7) следующим образом:

Д анное операторное сопротивление имеет единственный нуль при р = О и два комплексно-сопряженных полюса в точках с координатами

Полюсы расположены в левой полуплоскости (система устойчива) и тем ближе к мнимой оси, чем выше доброт­ность контура. Последнее свойство является общим для любых частотно-избирательных систем.

Лекция11 Резонансныйусилитель малых колебаний. Данная узко­полосная система совмещает в себе функции усилителя и линейного частотного фильтра (рис. 9.2).

Отличие от усилителя с резистивно-емкостной нагрузкой (см. гл. 8) состоит в том, что здесь нагрузкой электронного

прибора служит параллельный колебательный контур; включе­ние контура в общем случае может быть неполным.

Обращаясь к эквивалентной схеме замещения, видим, что ток с комплексной амплитудой — SU_BX, поступающий от управляемого источника, протекает по сопротивлению

Zэх(j) = Z(j)Ri,/[Z(j) + Ri]

и создает на нем падение напряжения, являющееся выходным сигналом усилителя. Несложные преобразования показывают [см. формулу (9.3)], что

Z_эх(j)=R_рез.эх /(1+j_эк (9.9)

Здесь

R_рез.эх =R_рез /(1+R_PE3 /R_i) (9.10)

- эквивалентное сопротивление контура усилителя при резо­нансе с учетом внутреннего сопротивления источника; эквивалентная обобщенная расстройка

эк=(1+R_PE3 /R_i)

Можно считать, что влияние внутреннего сопротивления состоит в том, что добротность колебательной системы уменьшается и становится равной эквивалентной добротности

Q_эк =Q(1+R_PE3 /R_i) (9.11)

Поскольку комплексная амплитуда гармонического сигнала на выходе усилителя U_вых = — SZ_3KU_BX, частотный коэффи­циент передачи данного устройства

К(j_эк)= -SR_рез.эх /(1+j_эк) (9.12)

Многоконтурные частотно-избирательные системы. Рассмот­ренные выше одноконтурные узкополосные цепи обладают существенным недостатком — невысокой частотной избира­тельностью. Это свойство проявляется в том, что за границами полосы пропускания значения АЧХ таких цепей стремятся к нулю недостаточно быстро. Поэтому выходное колебание содержит не только полезный сигнал, спектр которого располагается вблизи максимума АЧХ, но и некото­рую, порой значительную долю мешающих сигналов, шумов и т. д. со спектрами, лежащими на достаточном удалении от той частоты, на которую настроен фильтр.

Стремясь повысить частотную избирательность фильт­ров, прибегают к многоконтурным устройствам, в которых удается получить форму АЧХ, близкую к идеальной (прямоугольной).

Простейшим многоконтурным частотно-избирательным фильтром является система двух связанных колебательных контуров. Принцип работы такого устройства изучается в теории цепей. На рис. 9.3,а изображена принципиальная схема резонансного усилителя, нагрузкой которого является система двух одинаковых индуктивно связанных контуров.

Параметрами этой системы являются коэффициент связи k_c = M/L и так называемый фактор связи А = k_cQ. Модуль

Графики АЧХ, построенные в соответствии с выражением (9.15), изображены на рис. 9.3,6 при различных факторах связи А. Отметим, что если А > 1, то резонансная кривая в полосе пропускания имеет провал, глубина которого возрастает с увеличением фактора связи.

Можно создавать весьма совершенные частотно-избира­тельные устройства, применяя фильтры с большим числом взаимно связанных колебательных систем.

В последнее время в радиотехнике стали получать распространение частотно-избирательные фильтры, построен­ные на новых схемотехнических принципах — так назы­ваемые активные фильтры (см. гл. 14). Большие успехи достигнуты в области конструирования частотных фильтров, работа которых основана на использовании ультразвуковых волн в твердых телах. Новая отрасль радиотехники, по­лучившая название акустоэлектроники, сулит заманчивые перспективы создания миниатюрных и надежных частотно-избирательных систем.

Идеализированные модели частотно-избирательных уст­ройств. При теоретическом исследовании частотно-избиратель­ных узкополосных цепей часто применяют их упрощенные модели, которые позволяют правильно описывать основные свойства фильтров, опуская малосущественные и к тому же трудно анализируемые подробности.

Наиболее простой моделью служит гипотетический идеальный полосовой фильтр, коэффициент передачи которого постоянен и равен К₀ в пределах полосы пропускания:

Другой распространенной теоретической моделью узко­полосной системы является так называемый гауссов радио­фильтр, АЧХ которого представляет собой колоколообразную гауссову кривую, симметричную относительно частоты w₀. Частотный коэффициент передачи гауссова радиофильтра

Здесь Ь — постоянная величина с размерностью с², опреде­ляющая частотные свойства фильтра. Первое слагаемое в (9.17) обусловливает «всплеск» коэффициента передачи в об­ласти отрицательных частот, а второе — в области положи­тельных частот. При bw²_о >> 1 фильтр узкополосен и эффект перекрытия частотных характеристик, отвечающих отрицатель­ным и положительным частотам, не наблюдается.

Лекция 13. Частотно-избирательные цепи

при широкополосных входных воздействиях

Задача о поведении узкополосной частотно-избиратель­ной цепи, возбуждаемой широкополосным входным сигналом, представляет интерес, например, в связи с тем, что сигналы помех часто представляют собой короткие импульсы. Эф­фективная ширина спектра таких сигналов может значи­тельно превышать ширину полосы пропускания частотно-избирательной системы.

Понятие широкополосного сигнала. Пусть К (jw) - час­тотный коэффициент передачи узкополосной цепи, способной выделять спектральные составляющие входного сигнала, сосредоточенные в малых окрестностях частот ± w₀. Входное колебание u_вх(t) со спектральной плотностью S_вх(w) назы­вают широкополосным сигналом применительно к данной цепи, если функцию S_BX(w) можно приближенно считать постоянной в пределах полосы пропускания системы. При этом

Согласно выражению (9.18), форма выходного сигнала в данном случае определяется не характером входного колеба­ния, а лишь частотным коэффициентом передачи системы.

Импульсная характеристика частотно-избирательной цепи. Сигналом с предельно широким спектром является дельта-импульс, для которого S_BX(w) = l. Выходным сигналом в данном случае служит импульсная характеристика

Рассмотрим первое слагаемое в правой части выраже­ния (9.19) и перейдем в нем от переменной интегриро вания со к новой частотной переменной  в соответствии с формулой со = — w₀ — . Такой переход означает смещение функдии K(jw) из окрестности точки — w₀ в окрестность точки  = 0. Таким образом,

Поскольку рассматриваемая цепь узкополосная, модуль частотного коэффициента передачи достаточно резко умень­шается с увеличением . Это означает, что в последнем интеграле (9.20) нижний предел — w₀ можно с полным осно­ванием заменить на — оо. В результате имеем

Аналогично, выполнив замену переменной w = w₀ + , преобразуем второй интеграл в (9.19) к виду

Комплексно-сопряженные выражения (9.21) и (9.22) склады­ваются, поэтому импульсная характеристика узкополосной системы оказывается вещественной:

Низкочастотный эквивалент частотно-избирательной цепи.

Этим термином принято называть воображаемую систему, частотный коэффициент передачи которой получается путем смещения частотного коэффициента передачи реальной узко­полосной цепи из окрестности частоты w₀ в окрестность нулевой частоты, т. е.

Интеграл в (9.23) является импульсной характеристикой НЧ-эквивалента:

Поэтому

h (t) = Re [2h_нч (t) e^jw0t], (9.26)

откуда следует, что функция 2h_нч (г) является комплексной огибающей импульсной характеристики реальной узкополос­ной цепи. В соответствии с формулой (9.26), в общем случае импульсная характеристика частотно-избирательной системы представляет собой квазигармоническое колебание, огибаю­щая и начальная фаза которого медленно (в масштабе времени Т= 2/w₀) изменяются во времени.

Общий случай. Предположим, что на вход некоторой час­тотно-избирательной системы воздействует произвольный широкополосный сигнал со спектральной плотностью

Считая, что u_BX (t) — вещественная функция, имеем A (w) = A (-w), В(w)= -В(-w).

Представим выходное колебание в виде суммы

Здесь

Подставляя эти промежуточные результаты в (9.35), полу­чаем окончательный результат

Естественно, что из (9.38) вытекает как частный случай формула (9.26), описывающая импульсную характеристику узкополосной цепи.

Физический смысл спектрального разложения. Положим для простоты, что hнч (t) — вещественная функция, и предста­вим формулу (9.38) в виде

где tg  (w₀) = В (w₀)/A (w₀) •

Входящее сюда выражение [А² (w₀) + В²(w₀)]^1/2 пред­ставляет собой величину | S_BX (w₀) I • Таким образом, как отме­чалось, отклик узкополосной системы на широкополосный сигнал пропорционален абсолютному значению спектральной плотности входного сигнала в той точке на оси частот, кото­рая соответствует центральной частоте полосы пропускания системы.

Этот результат указывает путь осуществления аппаратур­ного спектрального анализа сигналов. На рис. 9.6 приведена структурная схема анализатора спектра, построенного по так называемому параллельному принципу.

Сформулированный здесь принцип аппаратурного спект­рального анализа имеет не только прикладное, но и большое принципиальное значение. В частности, он позволяет уста­новить физический смысл поведения спектров сигналов, изу­ченных в гл. 2. Например, как было показано, спектральная плотность прямоугольного видеоимпульса длительностью _и обращается в нуль на всех частотах w_n — 2п/_и п = 1, 2, ... Предположим, что данный видеоимпульс воздействует на вход узкополосной колебательной системы, настроенной на одну из этих частот. Период собственных колебаний системы Т„ - 2/w_n = т_и/л находится в целократном соотношении с длительностью импульса. Колебательная система, получив «толчок» от фронта импульса, через время, кратное периоду собственных колебаний, получит такой же «толчок», но в противоположном направлении, от среза импульса. В резуль­тате будет наблюдаться взаимное погашение этих реакций. Именно об этом говорят нулевые значения спектральной плотности видеоимпульса в некоторых точках оси частот.

Прекрасное изложение вопросов, связанных с физическими аспектами спектральных разложений, читатель может найти в [19].

Лекция13. Частотно-избирательные цепи

при узкополосных входных воздействиях

В типичной ситуации, например в случае приема моду­лированных сигналов, на вход частотно-избирательного ли­нейного фильтра подается полезный сигнал, спектральная плотность которого имеет четко выраженный максимум в пре­делах полосы пропускания цепи. При этом, как правило, резонансная частота колебательной системы совпадает с час­тотой несущего колебания (симметричная настройка).

Если спектр входного радиосигнала был бы строго огра­ничен областью частот, в пределах которой частотный коэф­фициент передачи фильтра неизменен, то выходной сигнал являлся бы просто масштабной копией входного воздействия. Однако неизбежная неидеальность АЧХ и ФЧХ частотно избирательной системы ведет к искажениям формы выход­ного сигнала. Ниже излагается метод, позволяющий нахо­дить выходные отклики частотно-избирательных цепей, воз­буждаемых узкополосными колебаниями.

Основные соотношения. Рассмотрим произвольную узкопо­лосную цепь, частотный коэффициент передачи К (/со) которой существенно отличен от нуля лишь в окрестностях точек ±со₀ на оси частот. Предположим, что входным сигналом служит узкополосное (квазигармоническое) колебание с центральной частотой спектра w₀. Это означает, что в формуле

u_BX(t) = Re[U_BX(t)e^jw0t] (9.40)

комплексная огибающая U_Bx(t) является гораздо более мед­ленной функцией, чем колебание cos(w₀t). Обозначим соответ­ствие между сигналами и их спектрами: u_вх(t)<->S_Bx(w), Uвх (t) <-> G_BX (w), причем (см. гл. 5) спектры входного сигнала и его комплексной огибающей связаны таким образом:

Отсюда, используя спектральный метод анализа линейных цепей, получаем следующее выражение для выходного сиг­нала:

Заметим, что правые части выражений (9.42) и (9.43) язляются комплексно-сопряженными. Кроме того, величина К [j (w_о + \ на основании (9.24) служит частотным коэф­фициентом передачи НЧ-эквивалента узкополосной цепи. Поэтому

Отсюда видно, что комплексной огибающей выходного сигнала соответствует выражение

Итак, комплексная огибающая выходного сигнала пред­ставляет собой медленно меняющееся во времени колебание со спектральной плотностью

Чтобы решить задачу о прохождении узкополосного сигнала через частотно-избирательную систему, следует вна­чале найти результат воздействия входной комплексной оги­бающей на НЧ-эквивалент исходной системы, а затем перейти к физическому выходному сигналу

Равенство (9.44) соответствует спектральному методу на­хождения сигнала на выходе системы. В равной мере могут быть использованы и другие известные методы, например операторный метод, а также метод интеграла Дюамеля, согласно которому

где /i_HЧ (t) ^— импульсная характеристика НЧ-эквивалента.

Воздействие АМ-сигнала на одноконтурный резонансный усилитель. В качестве первого примера рассмотрим задачу о прохождении однотонального АМ-колебания и_вx (t) = = U₀ (1 + М cos t) cos w₀t через одноконтурный резонансный усилитель с частотным коэффициентом передачи

Сделаем упрощающее допущение — будем считать, что ре­зонансная частота w_ре3 и частота несущего колебания w₀ совпадают. Взяв эту частоту в качестве опорной, получим комплекснуюо гибающую входного сигнала

Частотный коэффициент передачи НЧ-эквивалента уси­лителя

Выходную комплексную огибающую можно найти из (9.48) и (9.49), применив обычный метод комплексных амплитуд, известный из теории цепей:

где фазовый сдвиг _ = arctg t_K.

Применив формулу (9.46) и приняв во внимание, что постоянная времени контура т_к = 2Q_3K/w_pe3, находим сигнал на выходе усилителя:

где _ = 2Q,_кwр_ез — обобщенная расстройка колебательного контура на верхней боковой частоте.

Таким образом, на выходе резонансного усилителя су­ществует колебание, которое, будучи усиленным по амплитуде, по-прежнему является однотональным АМ-сигналом. Однако коэффициент модуляции на выходе меньше, чем на входе:

Кроме того, огибающая на выходе запаздывает относи­тельно огибающей входного сигнала на время _ian = _/.

Лекция 14Воздействие на резонансный усилитель импульса включения гармонической ЭДС. Во многих радиотехнических системах (радиолокационных, системах многоканальной связи) полезная информация передается с помощью последовательностей пря­моугольных радиоимпульсов. Проходя через резонансные частотно-избирательные системы, являющиеся неотъемлемы­ми частями радиоприемных устройств, такие импульсы не­сколько искажаются. Чтобы оценить степень этих нежела­тельных искажений, решим задачу о сигнале на выходе одно­контурного резонансного усилителя с частотным коэффи циентом передачи (9.12) при условии, что на входе действует сигнал u_вх (с) = U_m cos (w₀t)(t).

Пусть усилитель настроен на несущую частоту, т. е. wрез = w₀. Тогда, выбирая эту частоту в качестве опорной, получим следующее выражение для комплексной огибающей:

U_BX(t)=U_m(t). (9.52)

Задача о воздействии сигнала (9.52) на линейную систему с коэффициентом передачи вида (9.49) была рассмотрена в гл. 8 при изучении переходной характеристики RC-цепи. Поэтому можно воспользоваться известным результатом и записать

_UBb,_x(t)= -K_pE3 U_m[1 -exp(-f/t_K)](t). (9.53)

Тогда выходной сигнал усилителя

График, построенный по формуле (9.54), представлен на рис. 9.7.

Текущая амплитуда выходного сигнала достигает уровня 0.9 от стационарного значения K_резU_m за время установления

Влияние расстройки. Рассмотрим предыдущую задачу в более общей постановке, предположив, что частота заполне­ния входного сигнала отличается от резонансной частоты контура на величину . При этом

Сигнал на выходе НЧ-эквивалента одноконтурного резо­нансного усилителя проще всего найти, воспользовавшись интегралом Дюамеля, в который следует подставить выра­жение импульсной характеристики НЧ-эквивалента:

h_НЧ (t) = - (Крез/t_к) ехр (- t/t_к) (t). (9.56)

Таким образом, расстройка между резонансной частотой колебательной системы и частотой гармонического заполнения входного импульса приводит к немонотонному изменению огибающей сигнала на выходе. Физическое объяснение этого факта таково: выходной сигнал усилителя складывается из вынужденных колебаний, имеющих частоту внешнего источ­ника, и экспоненциально затухающих во времени свободных колебаний с частотой, равной резонансной частоте контура. Пользуясь языком метода комплексных амплитуд, можно сказать, что вектор U_СВОб вращается с разностной частотой w относительно вектора U_Bhlx. Огибающая выходного сиг­нала, пропорциональная длине суммарного вектора U_оказывается переменной во времени, стремясь в пределе к амплитуде вынужденных колебаний.

Поскольку вектор U_ с течением времени изменяет свое положение на плоскости, во время переходного процесса

непостоянной оказывается и мгновенная частота выходного сигнала. Используя формулу (9.57), на основании принципа вычисления мгновенной частоты, изложенного в гл. 5, имеем

Можно заметить, что при t->oo, когда переходный про­цесс в усилителе практически закончится, частоты сигналов на входе и выходе становятся одинаковыми.