Приклади розв'язування задач

Задача 1. Рівняння руху матеріальної точки вздовж осі має вигляд x =А + Bt + Ct³, де А = 2 м, В = 1 м/с, С = – 0,5 м/с³ . Знайти координату x, швидкість v_x і прискорення a точки в момент часу t = 2 с.

Дано:

х=А + Bt + Ct³

А = 2 м

В = 1 м/с

С = – 0,5 м/с³

x, v_x, a –?

Розв'язання

Координату x знайдемо, підставивши в рівняння руху числові значення коефіцієнтів А, В, С і часу t:

x = (2+12–0,508) м = 0.

Миттєва швидкість відносно осі x – це перша похідна від координати по часу:

.

Прискорення точки знайдемо, взявши першу похідну від швидкості по часу:

В момент часу t = 2 с

v = (1 – 30,52²) м/с;

a = 6(–0,5)2 м/с²= – 6 м/с² .

Задача 2. З вертольота, що знаходиться на висоті 300 м, скинуто вантаж. Через який час вантаж досягне землі, якщо вертоліт:

1) нерухомий; 2) опускається зі швидкістю 5 м/с; 3) піднімається зі швидкістю 5 м/с?

Дано: h0= 300 м v0 = 5 м/с ––––––––– t – ?

Розв’язання

1) Якщо вертоліт нерухомий, то відстань по вертикалі, яку проходить вантаж при вільному падінні . Звідси час падіння вантажу на землю

.

2) Якщо вертоліт опускається зі швидкістю v₀, то і вантаж опускається разом з вертольотом зі швидкістю v₀. Рівняння руху вантажу:

. (1)

Коли вантаж досягне землі, h = h₀, t = t₂.

Звідси: ;

;

Відкинемо t₂<0 і одержимо t₂=7,3 с.

3) Якщо вертоліт піднімається зі швидкістю v₀, то і вантаж має таку ж початкову швидкість. Рівняння руху вантажу має вигляд (1). У момент досягнення землі h = h₀, t = t₃ .

Тоді

,

.

Відкинувши t₃<0, одержимо t₃ = 8,3 с.

Задача 3. Точка рухається по колу радіусом R = 20 cм з постійним тангенціальним прискоренням a_. Знайти тангенціальне прискорення a_ точки, якщо відомо, що до кінця п’ятого оберту після початку руху лінійна швидкість точки v = 79,2 см/c.

Дано:

R = 20 cм = 0,2 м;

n = 5;

v=79,2см/c=0,792 м/с

а_ - ?

Розв’язання

Лінійна швидкість v при рівноприскореному русі по колу (а_=соnst) дорівнює:

v =a_ t. (1)

Щоб знайти a_ , потрібно знати час від початку обертання до кінця 5-го оберту. Його можна визначити, використавши співвідношення (1.18) з урахуванням того, що початкова кутова швидкість дорівнює нулю:

.

Тут  – кутове прискорення, n – кількість обертів. Отже,

. (2)

Але (співвідношення (1.15))

. (3)

Підставивши (3) і (2) у формулу (1), одержимо:

.

Звідси тангенціальне прискорення

.

Обчислимо його значення:

a_ = 0,1 м/с².

Задача 4. Знайти прискорення вантажів, кутове прискорення блока радіуса r і натяг ниток на установці, зображеній на рисунку за умови, що немає ковзання нитки. Момент інерції блока відносно його осі обертання і маси вантажів відповідно дорівнюють J, m₁, m₂ (m₁ > m₂ ).

m2 m1 m1 g m2 g T1 T2 Дано: r J m1 m2 m1 > m2 a, , Т –?

Розв’язання

Очевидно, що прискорення вантажів чисельно рівні, а напрямки їх протилежні. Позначимо величину прискорення вантажів через a.

Розглянемо, які сили діють на вантажі та блок.

1) На вантаж m₁ діють сили F₁ = m₁g і Т₁ . Перша напрямлена вниз (цей напрям вважатимемо додатним), друга вгору. Рівняння руху вантажу m₁:

F₁ – T₁ = m₁ a . (1)

2) На вантаж m₂ діють сили F₂ (вниз) і Т₂ (вгору). Т₂  Т₁ , бо різниця цих сил спричиняє виникнення моменту, який обертає блок. Якби блок був невагомим, тобто J = 0, тоді б і Т₂ = Т₁. Рівняння руху вантажу m₂:

F₂ – T₂ = – m₂ a. (2)

3) На блок з боку нитки діють дві сили Т₁'= –T₁ і Т₂'= – T₂ , моменти яких відносно осі блока дорівнюють L₁ = T₁r і L₂= –T₂r (додатними вважаємо моменти тих сил, які “обертають” площину рисунка проти годинникової стрілки). Рівняння руху блока (якщо вважати його абсолютно твердим тілом) буде таким:

(Т₁–Т₂)r = J. (3)

Нарешті, розглянемо ті точки нитки, в яких вона дотикається до блока. Оскільки ковзання нитки за умовою задачі немає, а її прискорення збігається з прискоренням відповідних точок блока, то

a= r, (4)

згідно з відомою кінематичною формулою обертового руху.

Чотири рівняння (1)-(4) утворюють систему рівнянь з чотирма невідомими величинами а, , Т₁, Т₂. Розв’язуючи цю систему, знаходимо:

; ;

.

Задача 5. Однорідний тонкий стрижень довжиною l, закріплений так, що він може обертатись навколо горизонтальної осі, яка проходить перпендикулярно до стрижня через один з його кінців, відводять від вертикального положення на кут  і потім відпускають (див. рисунок). Знайти кутову швидкість стрижня  в момент проходження ним положення рівноваги.