6. Нормальное и усеченное нормальное распределение.

Для постепенных отказов нужны законы распределения времени безотказной работы, которые дают вначале низкую плотность распределения, затем максимум, а далее падение, связанное с уменьшением числа работоспособных объектов. В этом смысле нормальный закон распределения является наиболее универсальным. К нему приближаются другие законы распределения, в частности? биноминальное и распределение Пуассона. При этом математические операции с нормальным законом распределения проще, чем с другими.

Нормальное распределение (распределение Гаусса) случайной величины X возникает всякий раз, когда X зависит от большого числа однородных по своему влиянию случайных факторов, причем влияние каждого из этих факторов по сравнению с совокупностью всех остальных незначительно. Это условие характерно для времени возникновения отказа, вызванного старением, т.е. этот закон используется для оценки надежности изделий при наличии постепенных (износовых) отказов.

График функции нормального закона распределения F(t) имеет вид:

Рис. 17. Функция нормального распределения

Плотность вероятности отказов

(46)

Она зависит от двух параметров: среднего значения времени работы до отказа Т₁ и среднеквадратичного отклонения наработки на отказ σ.

Плотность нормального распределения имеет колоколообразную форму, симметричную относительно среднего значения Т₁.

Рис. 18. Кривые нормального распределения

Вероятность безотказной работы

(47)

где Ф – табулированный интеграл Лапласа.

Интенсивность отказов

(48)

Интенсивность отказов монотонно возрастает и после T₁ начинает приближаться к асимптоте y = (t-T₁)/. Монотонное возрастание интенсивности отказов с течением времени - характерный признак нормального распределения.).

На рис. 18 изображены кривые f(t), Р(t) и (t) для случая <<T₁, характерного для элементов, используемых в системах автоматического управления.

Из анализа графиков видно, что при нормальном законе распределения интенсивность отказа (t) сильно возрастает с течением времени. Это означает, что имеет место старение или износ элементов или постепенное изменение их параметров, а доля внезапных отказов весьма мала. Примером такого распределения может служить распределение отказов в работе щеток электрической машины во времени.

Вследствие приближенного характера экспоненциального и нормального законов распределения надежности при непосредственной обработке статистических данных иногда более точным их описанием оказываются распределения Релея, Вейбулла и гамма-распределение. Эти распределения (особенно два последних) довольно универсальны и охватывают путем варьирования параметров широкий диапазон случаев изменения вероятностей. Наряду с нормальным распределением они удовлетворительно описывают наработку до отказа подшипников, электронных схем, деталей и узлов машин и приборов применяются для оценки надежности по приработочным отказам.

Нормальная плотность распределения отлична от нуля при t < 0. Этот недостаток несущественен, если Т₁ >> σ. При этом условии частью кривой распределения при t < 0 можно пренебречь. Если это условие не выполняется, то использование нормального распределения приводит к погрешностям. Часть кривой распределения при t < 0 отсекают. Получают усеченное нормальное распределение с плотностью вероятности отказов

, t0 (49)

где нормирующий множитель c определяется из выражения:

(50)

и равен

(51)

Формулы к усеченному нормальному распределению следующие.

Вероятность безотказной работы:

(52)

Интенсивность отказов:

(53)

Пример 5.

Пусть время работы изделия до отказа подчинено усеченному нормальному закону с параметрами Т₁ = 6 000 часов, σ = 2 000 часов. Вычислить вероятность безотказной работы изделия для t = 5 000 часов.

Решение.

Интенсивность отказов при нормальном и усеченном нормальном распределениях резко возрастает с течением времени, что характерно для стареющих устройств.

7. Распределение Рэлея - непрерывное распределение вероятностей с плотностью

при x0,

зависящей от масштабного параметра  > 0. Распределение имеет положительную асимметрию, его единственная мода находится в точке x = . Все моменты распределения Рэлея конечны.

Рис. 19. Функция распределения Рэлея

Рис. 10 Плотность распределения Рэлея

Также, как и распределение Вейбулла или -распределение, распределение Рэлея пригодно для описания поведения изнашивающихся или стареющих изделий.

Частота отказов (функция плотности распределения вероятности отказов) определяется:

(55)

Вероятность безотказной работы вычисляется из выражения

(56)

Интенсивность отказов находится из выражения

(57)

Средняя наработка до первого отказа составит

(58)

Зависимости основных количественных характеристик надежности для закона Релея приведены на рис.21.

Рис. 21. Зависимости P(t), f(t), (t) для закона распределения Релея: P₁, f₁, ₁, T₁ при  =1, P₂, f₂, ₂, T₂ при =2.

Как видно из рисунка, интенсивность отказов устройства (t) по этому распределению возрастает линейно с течением времени. Это означает, что при изменении отказов во времени по распределению Релея происходит интенсивное старение или износ и отказы не удовлетворяют условиям случайного стационарного процесса. При этом вероятность безотказной работы устройства в области больших значений t уменьшается значительно быстрее, чем при экспоненциальной зависимости. Однако в начальный период работы при малых значениях времени t, когда интенсивность отказов незначительна, вероятн6ость безотказной работы P(t) убывает с течением времени медленнее, чем по экспоненте, но быстрее, чем при нормальном законе распределения. Такое изменение надежности во времени может наблюдаться в некоторых автоматических системах кратковременного действия с резервированием.

Пример 6.

Время работы изделия до отказа подчинено закону распределения Рэлея. Вычислить количественные характеристики надежности изделия P(t), f(t), λ(t), T₁ для t = 500 часов, если параметр распределения  = 700 часов.

Резюме

Рассмотренные законы распределения времени возникновения отказов могут в большинстве случаев характеризовать надежность сложной системы, но на ограниченных участках времени ее работы.  Так, например, на участке  приработки время возникновения отказов может подчиняться гамма-распределению или Вейбулла, на участке нормальной работы - экспоненциальному, а на участке старения - нормальному.

В связи с этим для оценки надежности сложной системы на длительном участке ее эксплуатации целесообразно использовать суперпозицию рассмотренных законов. Например, влияние постепенных отказов может быть учтено при суперпозиции экспоненциального и усеченного нормального законов распределения в следующем виде:

       P(t)=C₁P₁(t)+C₂P₂(t)                                             (59)

где С₁ и С₂ - коэффициенты,  учитывающие степень влияния внезапного постепенных отказов, P₁(t) и P₂(t) - вероятности безотказной работы для экспоненциального и нормального распределений.

Для обоснованного выбора типа практического распределения наработки до отказа необходимо большое количество отказов с объяснением физических процессов, происходящих в объектах перед отказом.

В высоконадежных элементах во время эксплуатации или испытаний на надежность, отказывает лишь незначительная часть первоначально имеющихся объектов. Поэтому значение числовых характеристик, найденное в результате обработки опытных данных, сильно зависит от типа предполагаемого распределения наработки до отказа. При различных законах наработки до отказа значения средней наработки до отказа, вычисленные по одним и тем же исходным данным, могут отличаться в сотни раз. Поэтому вопросу выбора теоретической модели распределения наработки до отказа необходимо уделять особое внимание с соответствующим доказательством приближения теоретического и экспериментального распределений.