2. Независимость событий

Событие А называется независимым от события В, если вероятность наступления события А не зависит от того, произошло событие В или нет, т.е. если условная вероятность события А равна его безусловной вероятности: Р(А/В)=Р(А).

Пример 1:

Лемма: (о взаимной независимости событий) Если событие А не зависит от события В, то и событие В не зависит от события А.

Доказательство:

Можно дать новое определение независимости событий.

Два события называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятность появления другого.

Для независимых событий правило умножения вероятностей ((2) п.1) принимает вид:

Р(АВ)=Р(А)∙Р(В), (3)

т.е. вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. (Это равенство можно рассматривать как теорему о произведении независимых событий.)

На практике о независимости тех или иных событий часто судят исходя из интуитивных соображений и анализа условий опыта, считая независимыми события, «между которыми нет причинно-следственных связей». Понятие независимости может быть распространено на совокупность нескольких событий.

Пример 2:

3. Вероятность суммы событий

Рассмотрим 2 события А и В. Надо найти вероятность того, что наступит в результате опыта хотя бы одно из них, т.е. вероятность события С=А+В.

Как известно, вероятность суммы 2-х несовместных событий определяется аксиомой аддитивности: Р(А+В)=Р(А)+Р(В), АВ=Ø.

Теорема: Вероятность суммы 2-х совместных событий равна сумме их вероятностей без вероятности их произведения, Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ) . (1)

Можно получить формулу вероятности суммы 3-х и большего числа совместных событий; для 3-х событий она имеет вид:

Р(А+В+С)=Р(А)+Р(В)+Р(С)–Р(АВ)–Р(АС)–Р(ВС)+Р(АВС).

Проще, однако, найти вероятность суммы нескольких совместных событий , используя равенство , где – противоположно событию S. Тогда .

Пример:

4. Вероятность появления хотя бы одного события

Пусть в результате испытания могут появиться п независимых событий, причем вероятности появления каждого из событий известны. Надо найти вероятность того, что наступит хотя бы одно из этих событий?

Теорема: Вероятность появления хотя бы одного из событий А₁,А₂,...,А_n, независимых в совокупности с вероятностями , равна разности между 1 и произведением вероятностей противоположных событий : , где .

Доказательство:

Частный случай: Если события А₁,А₂,...,А_п имеют

одинаковую вероятность, равную р, то

вероятность появления хотя бы одного из

этих событий .