IV.3. Задачи к теоретической карте №4

№1. В равнобедренном треугольнике АВС угол В равен 120⁰. Вне треугольника взята точка К, находящаяся на одинаковом расстоянии, равном 6, от боковых сторон и на расстоянии , от основания. Найти основание треугольника.

План решения.

1. ВК – биссектриса угла В.

2. ВК.

3. ВО. 4. АО. 5. АС.

Ответ:18

Используемые факты из теоретической карты: 2.

№2. Вычислить углы треугольника, в котором высота и медиана делят угол на три равные части.

План решения.

CM – медиана, CH – высота в ∆АВС.

1. АH=HМ.

2. НМ:МВ.

3. СН:СВ = sinВ.

4. В. 5. НСВ. 6. С. 7. A

Ответ: 30⁰, 90⁰, 60⁰.

Используемые факты из теоретической карты: 3.

№3. Около круга радиуса 3 описан равнобедренный треугольник с острым углом при основании 30⁰. Определить стороны треугольника.

План решения.

1. АК:АВ. 2. ОК:ОВ. 3. ОВ.

4. ВК. 5. АВ. 6. АК, АС.

Ответ:

Используемые факты из теоретической карты: 3, 8.

№4. Дан треугольник АВС такой, что АВ=15 см, ВС=12 см, АС=18 см. Вычислить, в каком отношении центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису угла С.

План решения.

Пусть CD – биссектриса угла C,

О – центр вписанной окружности,

AF – биссектриса угла A.

1. FC. 2. FC:AC. 3. OF: OA.

Ответ: 1:2.

Используемые факты из теоретической карты: 3, 7, 8.

№5. Дан треугольник со сторонами 12 см, 15 см и 18 см. Проведена окружность, касающаяся обеих меньших сторон треугольника и имеющая центр на большей стороне. Найти отрезки, на которые центр окружности делит большую сторону треугольника.

П лан решения.

1. ВО – биссектриса угла В.

2. АО.

3. ОС.

Ответ: 8 см и 10 см.

Используемые факты из теоретической

карты: 2, 3.

№6. В прямоугольный треугольник вписана полуокружность так, что диаметр лежит на гипотенузе, ее центр делит гипотенузу на отрезки 15 и 20. Найти радиус полуокружности.

П лан решения.

1. CО – биссектриса угла ВСА.

2. ВС: АС.

3. АС.

4. ∆BON ~ ∆ВАС.

5. ON.

Ответ: 12.

Используемые факты из теоретической карты: 2,3.

№7. Биссектриса угла В пересекает сторону АС треугольника АВС в точке M и делит ее на отрезки AM=21 и CM= 27. Найти периметр треугольника АВС, если биссектриса угла AMB перпендикулярна прямой АВ.

План решения.

П ервый способ.

1. ∆МАВ – равнобедренный.

2. ВМ.

3. Пусть AB=x, BC=y, тогда

4. P_∆ABC.

Ответ: 112.

Используемые факты из теоретической карты: 3, 4.

Второй способ.

1. ∆МАВ – равнобедренный. 2. ВМ. 3. ∆АВС~ ∆ВМС. 4. ВС. 5. АВ. 6. P_∆ABC.

Используемые факты из теоретической карты: 3.

№8. Вычислить биссектрису угла А треугольника АВС с длинами сторон a=18, b=15, c=12.

П лан решения.

1. BD и DC.

2. AD².

3. AD.

Ответ: 10.

Используемые факты из теоретической карты: (3, 4).

№9. В треугольнике АВС, все стороны которого различны, биссектриса угла ВАС пересекает сторону ВС в точке D. Известно, что АВ-BD=а, АС+СD=b. Найти длину отрезка AD.

П лан решения.

1. AD²=( a+BD) ·( b-CD) - BD·CD.

2. АB·СD= BD∙АС.

Ответ: .

Используемые факты из теоретической

карты: 3,4.

№10. Длина основания равнобедренного треугольника равна а, величина угла при вершине . Найти длину биссектрисы, проведенной к боковой стороне.

П лан решения.

1.

2. АВ

3. AD

Ответ:

Используемые факты из теоретической карты: 5.

№ 11. Определить площадь треугольника, если две его стороны 35 см и 14 см, а биссектриса угла между ними содержит 12 см.

План решения.

1. .

2. sinB.

3. S_∆ABC

Ответ: 235,2 см².

Используемые факты из теоретической карты: (5).

№12. В равнобедренном треугольнике АВС основание АС видно из центра вписанной окружности под углом . Найти площадь треугольника, если его боковые стороны равны а.

План решения.

1. АВС.

2. sinАВС.

2. S_∆АВС.

Ответ:

Используемые факты из теоретической

карты: 6, 8.

№13. Центр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, находится на расстоянии см и см от концов гипотенузы. Найти катеты этого треугольника.

П лан решения.

1. АОВ. 2. cosАОВ. 3. АВ.

4. sinАОВ. 5.S_∆AOB. 6. r = OD.

7. BD. 8. ВС. 9. AD. 10. AC.

Ответ: 6 см, 8 см.

Используемые факты из теоретической карты: 6, 8.

№14. Построить треугольник так, чтобы прямые k, l и m, пересекающиеся в одной точке, были его биссектрисами.

П лан построения.

1. ОР

2.

3. В

4.

5.

6. А – точка пересечения ВК и k.

7. С – точка пересечения BF и l.

8. ∆АВС.

Используемые факты из теоретической карты: 6, 8.

№15. В равнобедренном треугольнике АВС (АВ=ВС) высота AF пересекает высоту BD в точке О, причем . В каком отношении биссектриса АЕ делит высоту BD?

План решения.

1.

2.

3. ∆AOD ∆BCD.

4. .

5.

6. 7. Ответ: .

Используемые факты из теоретической карты: 3.

№16. В прямоугольном треугольнике АВС катет ВС = 6 см и гипотенуза АВ = 10 см. Проведены биссектрисы угла АВС и его смежного, пересекающие катет АС и его продолжение в точках в и Е. Определить длину DE.

П лан решения.

Первый способ.

1. АС.

2. DC.

3.СЕ ( ).

4. DE.

Используемые факты из теоретической карты: 3, 9.

Второй способ.

1. АС. 2. DC 3. 4. СЕ. 5. DE.

Ответ: 15см

№17. В треугольнике АВС сторона АС делится биссектрисой внутреннего угла В на отрезки AD=12, CD=3. Найти радиус окружности с центром на прямой АС, проходящей через точки В и D.

План решения.

BD –биссектриса угла АВС,

BF – биссектриса угла KBF.

1.

2.FD – диаметр данной

окружности.

3.

4. FD. 5. OF.

Ответ: 4. Используемые факты из теоретической карты: 3, 9.