Вопрос 22.Самый неудачный вопрос.

Хуй там , Оля не нашла , и я не нашёл !!!

Поэтому ищи сам XD

23 Вопрос. Дифференциальное уравнение в полных дифференциалах

Дифференциальное уравнение вида

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0

называется уравнением в полных дифференциалах, если существует такая функция двух переменных u(x,y) с непрерывными частными производными , что справедливо выражение du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy

Общее решение уравнения в полных дифференциалах определяется формулой

u(x,y)=C

где С- произвольная постоянная.

Необходимое и достаточное условие:

Дифференциальное уравнение P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 будет являться уравнением в полных дифференциалах тогда и только тогда, если справедливо равенство:

24 Вопрос. Дифференциальные уравнения высших порядков: понятие, решение, задача Коши. Дифференциальные уравнения, которые допускают понижение порядка.

Дифференциальное уравнение второго порядка в общем случае записывается в виде:

или, если это возможно, в разрешённом относительно виде:

Для уравнения второго порядка, как и вообще для любых дифференциальных уравнений можно говорить о совокупности всех решений уравнения.

Общее решение дифференциальных уравнений :

Для дифференциальных уравнений второго порядка задача Коши формируется следующим образом: найти решение y=y(x) уравнения удоволетворяющее начальным условиям

Простейшее уравнение второго порядка имеет вид:

Уравнение вида является простейшим типом уравнений высших порядков, такие уравнения называются уравнениями допускающими понижение порядка. Для нахождения общего решения такого уравнения необходимо провести интегрирование столько раз, каков порядок уравнения.

26 Вопрос. Линейные неоднородные ду высшего порядка с постоянными коэффициентами. Структура решения. Метод вариации постоянных.

Линейное неоднородное уравнение данного типа имеет вид:

где p,q- постоянные числа.

Теорема: Общее решение неоднородного уравнения является суммой общего решения y0(x) соответствующего однородного уравнения и частного решения y1(x)

Неоднородного решения:

Метод вариации постоянных:

Пусть общее решение однородного уравнения второго порядка имеет вид:

Вместо постоянных С1 и С2 будем рассматривать вспомогательные функции С1(х) и С2(х). Будем искать эти функции такими, чтобы решение y=C1(x)Y1(x)+C2(x)Y2(x)

Удовлетворяло неоднородному уравнению с правой частью f(x).

Неизвестные функции С1(х) и С2(х) определяются из системы двух уравнений.

25 Вопрос .Линейные однородные ду высшего порядка с постоянными коэффициентами.

ДУ второго порядка вида называется линейным дифференцируемым уравнением, где P,Q- числа.

Если f(x)=0 то уравнение принимает вид то оно называется линейным однородным ДУ второго порядка.

Для его решения составляется характеристическое уравнение:

и находится его корень.