Частотные характеристики линейных дискретных фильтров.

Пусть заданы фурье-образы входной x(nT) и выходной y(nT) последоватльностей дискретного фильтра, т. е. соответственно. Тогда связь между данными образами и дискретными последовательностями сигналов на входе и выходе ЦФ определяется следующим соотношением

(7.11)

В выражении суммирование производится от «0» до бесконечности , т.к. полагается, что входная x(nT) и выходная y(nT) последоватльности равны нулю при n < 0.

Тогда частотной характеристикой системы называют отношение Фурье-обрзов выходной и входной последовательностей

(7.12)

Следовательно, частотная характеристика совпадает с передаточной функцией на единичной окружности z-плоскости, т.е.

(7.13)

В общем случае для рекурсивных фильтров имеем

(7.14)

для нерекурсивных фильтров частотная характеристика определяется

(7.15)

так как b_k = h(kT) – выборка импульсной характеристики фильтра.

В общем случае, частотная характеристика H(exp{jwT}) – комплексная функция, которая может быть записана следующим образом

(7.16)

где - модуль частотной характеристики –амплитудно-частотная характеристика (АЧХ);

- аргумент частотной характеристики – Фазо-частотная характеристика (ФЧХ).

- соответственно вещественная и мнимая части частной характеристики.

Групповое время замедления (ГВЗ) где в числителе ФЧХ фильтра.

Основные свойства частотных характеристик.

1. Все частотные характеристики дискретных фильтров являются непрерывными функциями частоты.

2. Все частотные характеристики являются периодическими функциями частоты w c с периодом, равным частоте дискретизации w_Д = 2π /Т.

3. Для вещественных фильтров, т.е. фильтров, передаточные функции которых имеют только вещественные коэффициенты, АЧХ и ГВЗ – представляют собой четные функции частоты, ФЧХ – нечетную функцию.

Следовательно, требования к частотным характеристикам достаточно задавать лишь на интервале полупериода [0, π/T].

Нормирование частоты.

Для того, чтобы частотные характеристики различных фильтров было легче сравнить друг с другом, частоту w нормируют . В настоящее время известно два способа нормирования частоты.

При первом способе полагают, что нормированная частота определяется на интервале от 0 до 2π.

При втором способе нормирования для всех частотных характеристик полагается, что . В этом случае период для всех частотных характеристик w_д = 1 и требования к ним следует задавать на интервале [0;0,5].

Требования к АЧХ избирательных фильтров.

Задача построения избирательных дискретных фильтров определяется следующими условиями. Избирательный цифровой фильтр при заданном спектре входного дискретного сигнала x(nT) формирует определенным образом в заданном частном диапазоне спектр выходного дискретного сигнала y(nT). В полосе пропускания АЧХ должна быть близка к единице (соответствующие составляющие спектра входного сигнала проходят на выход почти без подавления), а полосе задерживания АЧХ должна быть близка к нулю (соответствующие составляющие спектра входного сигнала проходят на выход со значительным подавлением). На рис.2. показан график функции АЧХ (нормированной), определяющий требования к нормированной АЧХ идеального цифрового фильтра ФНЧ. Общий частный диапазон дискретного фильтра 0, … , 0.5 (точка 0.5 соответствует частоте π / T при отсутствии нормирования частоты).

Полоса пропускания фильтра определяется от 0 до w_г.п , в которой АЧХ фильтра равняется «1».

Полоса частот от w_г.п. до 0,5, в которой A(w) = 0, является полосой задерживания.

П

A(w)

олоса частот от w_г.п. до w_г.з. , в которой АЧХ не задана, является промежуточной полосой.

1

W

W_г.п.

W_г.з.

0,5

Рисунок 2 - АЧХ идеального фильтра НЧ

На практике невозможно построить идеальный фильтр из-за погрешностей связанных с ошибками квантования, ограниченностью разрядной сетки ЦФ и.т.д. Поэтому необходимо аппроксимировать заданную функцию АЧХ так, чтобы она была близка к идеальному ЦФ: