17. Геометрические приложения определенного интеграла.

Если на отрезке функция , то площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой , осью и прямыми (рис. 1), равна

Если на отрезке , то площадь соответствующей криволинейной трапеции .

Рис.1

В общем случае, когда функция меняет знак на отрезке (рис. 2), площадь, ограниченная кривой , осью и прямыми может быть найдена как сумма площадей фигур, лежащих выше и ниже оси . Иначе

. Рис.2

Длина дуги кривой , ограниченной точками с абсциссами , вычисляется по формуле

Рассмотрим тело, образованное вращением вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной кривой , осью и прямыми . Объём тела вращения .

Пусть кривая задана уравнениями в параметрической форме , где и . Площадь криволинейной трапеции в этом случае равна , а длина дуги .

Пусть кривая задана уравнением в полярной системе координат , где - непрерывная функция, определённая при (рис. 3). Площадь сектора, ограниченного заданной кривой и лучами , , равна .

Рис.3

Длина дуги кривой, определённой в полярной системе координат уравнением , вычисляется по формуле .

18. Несобственные интегралы первого и второго рода. Признак сходимости несобственных интегралов.

Несобственные интегралы 1 рода. Пусть определена и непрерывна на множестве от и . Тогда: 1) Если , то используется обозначение и интеграл называется несобственным интегралом Римана первого рода. В этом случае называется сходящимся. 2) Если не существует конечного ( или ), то интеграл называется расходящимся к , или просто расходящимся. Пусть определена и непрерывна на множестве от . Тогда: 1.Если , то используется обозначение и интеграл называется несобственным интегралом Римана первого рода. В этом случае называется сходящимся. 2.Если не существует конечного ( или ), то интеграл называется расходящимся к , или просто расходящимся. Если функция определена и непрерывна на всей числовой прямой, то может существовать несобственный интеграл данной функции с двумя бесконечными пределами интегрирования, определяющийся формулой: , где с — произвольное число.

Несобственные интегралы 2 рода. Пусть определена на , терпит бесконечный разрыв в точке x=a и . Тогда: 1)Если , то используется обозначение и интеграл называется несобственным интегралом Римана второго рода. В этом случае интеграл называется сходящимся.2)Если или , то обозначение сохраняется, а называется расходящимся к , или просто расходящимся. Пусть определена на , терпит бесконечный разрыв при x=b и . Тогда: 1)Если , то используется обозначение и интеграл называется несобственным интегралом Римана второго рода. В этом случае интеграл называется сходящимся. 2)Если или , то обозначение сохраняется, а называется расходящимся к , или просто расходящимся. Если функция терпит разрыв во внутренней точке с отрезка , то несобственный интеграл второго рода определяется формулой:

Признаки сходимости несобственных интегралов. Теорема 1. Пусть функции и непрерывны на промежутке и удовлетворяют неравенствам . Тогда,1) если интеграл сходится, то сходится и интеграл ;2) если интеграл расходится, то расходится и интеграл . Теорема 2. Пусть функции и непрерывны на промежутке , удовлетворяют неравенствам и в точке одновременно терпят разрыв второго рода. Тогда, 1) если сходится, то сходится также, 2) если расходится, то расходится и . Теорема 3. Если на промежутке функция меняет свой знак, то если сходится, то сходится и , при этом второй интеграл называется абсолютно сходящимся. Теорема 4. Если положительные функции и непрерывны на промежутке и при этом , то оба несобственных интеграла и ведут себя одинаково.