- •1.Неопределенный интеграл.
- •2. Первообразные элем.Функций.
- •3.Замена переменных в неопр.Интегралле.
- •4.Интегрирование по частям.
- •5.Интегрирование иррациональных функций.
- •6.Элементарные рац.Функции и интегралы от них.
- •7.Алгоритм
- •8.Интегрирование функций, содержащих радикалы.
- •9.Интегрирование биноминальных дифференциалов.
- •11.Тригонометрическая подстановка.
- •12.Интегр.Функций содержащих показ.Функции
- •13.Определенный интеграл.
- •14.Класс интегрируемых функций
- •15.Определенный интеграл как функция верхнего предела
- •16.Теорема: (Теорема Ньютона – Лейбница)
- •17.Замена переменных.
- •18.Интегрирование по частям.
- •19.Приложения опред. Интеграла
- •1)Площадь плоской фигуры.
- •22.Интеграл Эйлера I рода
- •23.Интеграл Эйлера I I рода
- •24.Функции нескольких переменных
- •25. Непрерывные функции
- •26.Дифференцирование функций нескольких переменных.
- •27.Производная сложной функции
- •28.Частные дифференциалы и дифференциал функции
- •29.Частные производные высших порядков.
- •30.Дифференциалы высших порядков.
- •31.Формула Тейлора
- •32.Градиент.
- •33.Экстремум функции нескольких переменных.
- •34.Теорема. (Достаточные условия экстремума).
- •35.Условный экстремум.
- •36.Билинейная и квадратичная форма
- •38.Второй дифф.Как квадрат.Форма
- •39.Пространства.
- •40.Основные понятия теории дифференциальных уравнений.
- •41.Дифференциальные уравнения первого порядка
- •42.Уравнения с разделяющимися переменными.
- •43.Однородное дифференциальное уравнение первого порядка.
- •44.Уравнения, приводящиеся к однородным. К таким уравнениям относят уравнения вида:
- •45.Линейное уравнение первого порядка
- •46.Уравнение Бернулли
- •47.Уравнение Риккати
- •48.Уравнение в полных дифференциалах и их решение
- •49.Интегральный множитель и его нахождение
- •50.Дифференциального уравнения n-го порядка.
- •51.Диф.Ур.Высшего порядка.Способы пониж.Порядка
- •Уравнения, не содержащие явно искомой функции
- •52.Линейные однородные дифференциальные уравнения с
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с произвольными коэффициентами.
- •54.Метод вариации
- •55.Метод неопределенных коэффициентов.
- •56.Метод Коши
- •57.Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Уравнения с правой частью специального вида.
- •58.Нормальные системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
- •59.Метод сведения к одному уравнению.
- •60.Метод интегрируемых комбинаций
- •61. Нормальные системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
- •62.Фундаментальная система решений как базис линейного пространства решений однородной линейной системы
- •68.Определитель Вронского
- •64.Системы линейных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами: однородные и неоднородные. Структура решения. Алгоритм решения.
- •65.Преобразование Лапласа.
- •66.Интегралл Лапласа и его свойства
- •67.Свойства 1-6 преобразования Лапласа.
- •68.Свойства 7-12 преобразования Лапласа.
- •70.Таблица изображений некоторых функций.
- •72.Интеграл Дюамеля
- •73.Достаточные условия существования оригинала
- •75.Решение уравнений методом Дюамеля.
1.Неопределенный интеграл.
Определение: Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением:
F(x) + C.
Записывают:
Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке.
Свойства:
1.
2.
3.
4. где u, v, w – некоторые функции от х.
Пример:
Нахождение значения неопределенного интеграла связано главным образом с нахождением первообразной функции. Для некоторых функций это достаточно сложная задача. Ниже будут рассмотрены способы нахождения неопределенных интегралов для основных классов функций – рациональных, иррациональных, тригонометрических, показательных и др.
Для удобства значения неопределенных интегралов большинства элементарных функций собраны в специальные таблицы интегралов, которые бывают иногда весьма объемными. В них включены различные наиболее часто встречающиеся комбинации функций. Но большинство представленных в этих таблицах формул являются следствиями друг друга, поэтому ниже приведем таблицу основных интегралов, с помощью которой можно получить значения неопределенных интегралов различных функций.
2. Первообразные элем.Функций.
Определение: Функция F(x) называется первообразной функцией функции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно равенство:
F(x) = f(x).
Надо отметить, что первообразных для одной и той же функции может быть бесконечно много. Они будут отличаться друг от друга на некоторое постоянное число.
F1(x) = F2(x) + C.
F(x) – первообразная для f(х) на множестве Х, если F(x) = f(x) для всех x X.
Если F(x) – первообразная для f(х) на множестве Х, то F(x) + С – множество всех первообразных для f(x) множестве Х. Это множество первообразных называют неопределенным интегралом и обозначают .
Функция |
Первообразная |
K |
kx + C |
xn, n≠-1 |
|
1 |
x+C |
cosx |
sinx + C |
sinx |
–cosx + C |
|
tgx + C |
|
-ctgx + C |
|
– + C |
|
2 + C |
|
|
|
ln |
ex |
ex + C |
ax (a>0) |
|
3.Замена переменных в неопр.Интегралле.
Теорема: Если требуется найти интеграл , но сложно отыскать первообразную, то с помощью замены x = (t) и dx = (t)dt получается:
Доказательство: Продифференцируем предлагаемое равенство:
По рассмотренному выше свойству №2 неопределенного интеграла:
f(x)dx = f[(t)](t)dt
что с учетом введенных обозначений и является исходным предположением. Теорема доказана.
Пример. Найти неопределенный интеграл .
Сделаем замену t = sinx, dt = cosxdt.
Пример.
Замена Получаем: