10. Производная функции в точке. Геометрическая и механическая интерпретация

Производная функции в точке

Пусть функция f(x) определена на промежутке (a; b), и - точки этого промежутка. Производной функции f(x) в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при . Обозначается .

Когда последний предел принимает конкретное конечное значение, то говорят о существовании конечной производной в точке. Если предел бесконечен, то говорят, что производная бесконечна в данной точке. Если же предел не существует, то и производная функции в этой точке не существует.

Функцию f(x) называют дифференцируемой в точке , когда она имеет в ней конечную производную.

Если функция f(x) дифференцируема в каждой точке некоторого промежутка (a; b), то функцию называют дифференцируемой на этом промежутке. Таким образом, любой точке x из промежутка (a; b) можно поставить в соответствие значение производной функции в этой точке , то есть, мы имеем возможность определить новую функцию , которую называют производной функции f(x) на интервале (a; b).

Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Проведем разграничения в природе понятий производной функции в точке и на промежутке: производная функции в точке – это есть число, а производная функции на промежутке – это есть функция.

Геометрическая и механическая интерпретация

1)Механический смысл производной

Из физики известно, что закон равномерного движения имеет вид s = v·t, где s – путь, пройденный к моменту времени t, v– скорость равномерного движения.

Однако, т.к. большинство движений происходящих в природе, неравномерно, то в общем случае скорость, а, следовательно, и расстояние sбудет зависеть от времени t, т.е. будет функцией времени.

Итак, пусть материальная точка движется по прямой в одном направлении по закону s=s(t).

Отметим некоторый момент времени t0. К этому моменту точка прошла путь s=s(t0). Определим скорость vматериальной точки в момент времени t0.

Для этого рассмотрим какой-нибудь другой момент времени t0+Δt. Ему соответствует пройденный путь s=s(t0+Δt). Тогда за промежуток времени Δt точка прошла путь Δs=s(t0+Δt)–s(t).

Рассмотрим отношение . Оно называется средней скоростью в промежутке времени Δt. Средняя скорость не может точно охарактеризовать быстроту перемещения точки в момент t0 (т.к. движение неравномерно). Для того, чтобы точнее выразить эту истинную скорость с помощью средней скорости, нужно взять меньший промежуток времени Δt.

Итак, скоростью движения в данный момент времени t0 (мгновенной скоростью) называется предел средней скорости в промежутке от t0 до t0+Δt, когда Δt→0: ,т.е. скорость неравномерного движения это производная от пройденного пути по времени.

2)Геометрический смысл производной

Введем сначала определение касательной к кривой в данной точке.

Пусть имеем кривую и на ней фиксированную точку М0 (см. рисунок).Рассмотрим другую точку М этой кривой и проведем секущую M0M. Если точка М начинает перемещаться по кривой, а точка М0 остается неподвижной, то секущая меняет свое положение. Если при неограниченном приближении точки М по кривой к точке М0 с любой стороны секущая стремится занять положение определенной прямой М0Т, то прямая М0Т называется касательной к кривой в данной точке М0.

Т.о., касательной к кривой в данной точке М0 называется предельное положение секущей М0М, когда точка М стремится вдоль кривой к точке М0.

Рассмотрим теперь непрерывную функцию y=f(x) и соответствующую этой функции кривую. При некотором значении х0 функция принимает значение y0=f(x0). Этим значениям x0 и y0 на кривой соответствует точка М0(x0; y0). Дадим аргументу x0 приращение Δх. Новому значению аргумента соответствует наращенное значение функции y0+Δ y=f(x0–Δx). Получаем точку М(x0+Δx; y0+Δy). Проведем секущую М0М и обозначим через φ угол, образованный секущей с положительным направлением оси Ox. Составим отношение и заметим, что .

Если теперь Δx→0, то в силу непрерывности функции Δу→0, и поэтому точка М, перемещаясь по кривой, неограниченно приближается к точке М0. Тогда секущая М0М будет стремиться занять положение касательной к кривой в точке М0, а угол φ→α при Δx→0, где через α обозначили угол между касательной и положительным направлением оси Ox. Поскольку функция tg φ непрерывно зависит от φ при φ≠π/2 то при φ→α tg φ → tg α и, следовательно, угловой коэффициент касательной будет: т.е. f '(x) = tg α .

Т.о., геометрически у '(x0) представляет угловой коэффициент касательной к графику этой функции в точке x0, т.е. при данном значении аргумента x, производная равна тангенсуугла, образованного касательной к графику функции f(x) в соответствующей точке М0 (x; y) с положительным направлением оси Ox.

Пример. Найти угловой коэффициент касательной к кривой у = х2 в точке М(-1; 1).

Ранее мы уже видели, что (x2)' = 2х. Но угловой коэффициент касательной к кривой есть tg α = y'|x=-1 = – 2.

11. Дифференцируемые функции. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости. Дифференциал. Непрерывность дифференцируемой функции.

Дифференцируемые функции

Функция y = f(x), определенная в окрестности точки x0, называется дифференциируемой в точке x0, если ее приращение Δy представимо в виде Δy = f(x0+Δx)-f(x0) = AΔx+α(Δx)Δx, где А - число, не зависящее от Δx, а α(Δx) - бесконечно малая функция при Δx→0.

Отметим, MP = Δy, NP = dy, MN = α(Δx)Δx

Необходимое и достаточное условие дифференцируемости.

Для того, чтобы функция f(x) была дифференцируема в точке x0 необходимо и достаточно, чтобы у нее существовала производная в этой точке.

При этом Δy = f(x0+Δx)-f(x0) = f '(x0)Δx+α(Δx)Δx, где α(Δx) - бесконечно малая функция, при Δx→0.

Дифференциал.

Пусть функция y = f(x) дифференцируема в точке x0,то есть ее приращение представимо в виде: Δy = f(x0+Δx)-f(x0) = AΔx+α(Δx)Δx, где А - число, не зависящее от Δx, а α(Δx) - бесконечно малая функция при Δx→0.

Тогда выражение AΔx называется дифференциалом функции f(x) в точке х0 и обозначается символом dy = AΔx.

Непрерывность дифференцируемой функции.

Если функция y = f (x) имеет производную в точке х = х0, то говорят, что при данном значении аргумента х = х0 функция дифференцируема.Если функция дифференцируема в каждой точке интервала (a, b), то говорят, что она дифференцируема на этом интервале. Если функция дифференцируема в некоторой точке х = х0, то она в этой точке непрерывна. Доказательство. Пусть в точке х = х0 существует производная . Так как разность между функцией и её пределом есть бесконечно малая величина, то и определения производной следует соотношение , где γ (Δx) — является бесконечно малой величиной своего аргумента. Тогда Δy = f '(x0)·Δx + γ (Δx)·Δx и откуда следует, что Δy → 0 при Δx → 0, а это означает непрерывность функции у = f (x) в точке х0. Таким образом, в точках разрыва функция не может иметь производной. Однако и непрерывность функции не гарантирует существование производной в некоторой точке. Примером может служить функция , график которой представлен на рисунке ниже. Для этой функции левая и правая производные не совпадают, хотя функция обладает свойством непрерывности. Если функция y = f (x) имеет конечную производную в каждой точке х Х, то производную f '(x) можно рассматривать как функцию от х, также определенную на Х.

12. Производная функция в точке. Правила дифференцирования суммы, произведения, частного.

Производная функция в точке.

Пусть функция f(x) определена на промежутке (a; b), и - точки этого промежутка. Производной функции f(x) в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при . Обозначается .

Когда последний предел принимает конкретное конечное значение, то говорят о существовании конечной производной в точке. Если предел бесконечен, то говорят, что производная бесконечна в данной точке. Если же предел не существует, то и производная функции в этой точке не существует.

Функцию f(x) называют дифференцируемой в точке , когда она имеет в ней конечную производную.

Если функция f(x) дифференцируема в каждой точке некоторого промежутка (a; b), то функцию называют дифференцируемой на этом промежутке. Таким образом, любой точке x из промежутка (a; b) можно поставить в соответствие значение производной функции в этой точке , то есть, мы имеем возможность определить новую функцию , которую называют производной функции f(x) на интервале (a; b).

Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Проведем разграничения в природе понятий производной функции в точке и на промежутке: производная функции в точке – это есть число, а производная функции на промежутке – это есть функция.

Правила дифференцирования суммы, произведения, частного.

Правило дифференцирования суммы

Если функции u = u(x) и v = v(x) дифференцируемы в точке х, то ( u ± v ) ' = u ' ± v '.

Доказательство. Из определения производной получим: что и требовалось доказать.

Правило дифференцирования произведения

Если функции u = u(x) и v = v(x) дифференцируемы в точке х, то ( u · v ) ' = u '·v + v ' · u.

Доказательство. По определению производной имеем

Здесь учтена связь между дифференцируемостью и непрерывностью: .

Правило дифференцирования частного.

Если функции u = u(x) и v = v(x) дифференцируемы в точке х, то . Для вывода этого правила дифференцирования частного воспользуемся правилом дифференцирования произведения. Введём обозначение

.

Из этого соотношения получим u (x) = φ(x)·v(x). Продифференцируем левую и правую части этого равенства u ' = φ'·v + φ·v', откуда окончательно получим искомое правило .

Производная постоянной функции

Производная константы равна нулю (C)' = 0.

Доказательство. Для любых х и Δx имеем f (x) = C, f (x + Δx) = C, вследствие чего имеем

Δ y = f ( x + Δ x ) − f( x ) = 0.

Отсюда при любом Δx ≠ 0 и, следовательно,