- •1.1.. Определение дифференциального уравнения. Понятие общего решения и частного решения.
- •1.2. Уравнения с разделяющимися переменными(УсРп).
- •1.3. Однородные уравнения и уравнения, приводящиеся к однородным.
- •1.4. Линейные уравнения 1-ого порядка(ЛинУры).
- •1.5. Уравнение Бернулли.
- •1.6. Уравнение Риккати.
- •1.7. Уравнения в полных дифференциалах(УвПд)
- •1.8. Уравнения с интегрирующим множителем.
- •1.9. Теорема Коши о существовании и единственности решения задачи дифференциального уравнения 1-ого порядка.
- •1.10. Метод последовательных приближений.
- •1.11. Особые точки и особые решения.
- •1.12. Уравнения, неразрешенные относительно производной.
- •2.1. Уравнения, допускающие понижения порядка.
- •2.2. Линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами.
- •2.2.1. Теорема существования и единственности решения для дифференциальных уравнений высших порядков.
- •2.2.2. Линейный оператор и его свойства.
- •2.2.3. Определитель Вронского. Линейная зависимость и независимость системы функций.
- •2.2.4. Свойства решений линейного однородного дифференциального уравнения.
- •2.2.5. Фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения.
- •2.2.6. Теорема о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения.
- •2.2.7. Теорема о существовании фундаментальной системы решений линейного однородного дифференциального уравнения.
- •2.2.8. Восстановление линейного однородного уравнения по фундаментальной системе решений.
- •2.2.9. Формула Остроградского-Лиувилля.
- •2.3.1. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами.
- •2.3.2.1. Метод подбора частного решения неоднородного уравнения с правой частью специального вида.
- •5. Уравнения в частных производных первого порядка. Методы решения.
- •6.1. Классификация уравнений математической физики.
- •6.2. Волновое уравнение
- •6.3. Телеграфное уравнение,
- •6.4. Уравнение Лапласа,
- •6.5. Уравнение теплопроводности
5. Уравнения в частных производных первого порядка. Методы решения.
Из тетрадки:
ур-е связывающее независимые переменные, искомую фнк и ее частные производные называется ур-ем в частных производных
фнк u=u(x1...xn)
F(x1...xn.u,ux1,...,uxn,u1x1...) = 0 0 ур-е в частных произв.
Utt= a2Uxx <- ур-е колебаний
порядком ДУ называют порядок старшей производной
ОР ДУ в частных произв содержат произвольные фнк
примеры:
U=U(x,y) Ux=0 => U= C(y)
Задача находжения решений УвЧП есть задача нахождения интегральной поверхности
Задача коши состоит в нахождении интегральной поверхности проходящей через заданную кривую
В таком случае З. Коши остается неопределенной для некоторых кривых ч/з которые проходит бесконечно много интегральных кривых
a1(x1..xn,u)Du/Dx1 + .. + an(x1..xn,u)Du/Dxn=0 => u=C1
dx1/a1(...) = ...= dxn / an( ...)
Ф1(..) = C2 .... Фn-1(...) =Cn
общее решение выглядит так : U= f(Ф1(...),...,Фn(...))
для неоднородных :
a1(x1..xn,u)Du/Dx1 + .. + an(x1..xn,u)Du/Dxn=B(x1...xn,u)
dx1/a1(...) = ... = dxn / an( ...) = dU / b(...)
6.1. Классификация уравнений математической физики.
Классификация уравнений математической физики. Значительная часть У. м. ф. составляют линейные уравнения с частными производными 2-го порядка общего вида:
, (1)
где все коэффициенты aij (aij = aij), bi, с и правая часть f представляют собой заданные функции независимых переменных x1, x2,..., хп (n > 2), а u – искомая функция тех же аргументов. Свойства решений уравнения (1) существенно зависят от знаков корней (алгебраического относительно л) уравнения
= 0, (2)
и поэтому классификация уравнений (1) проводится в соответствии с этими знаками. Если все n корней уравнения (2) имеют одинаковый знак, то говорят, что уравнение (1) принадлежит к эллиптическому типу; если один из корней имеет знак, противоположный знаку остальных n – 1 корней, – к гиперболическому типу; наконец, если уравнение (2) имеет один нулевой корень, а прочие корни одинакового знака, – к параболическому типу. Если коэффициенты aij постоянны, то уравнение (1) принадлежит к определенному типу независимо от значений аргументов; если же эти коэффициенты зависят от x1,..., хп, то и корни уравнения (2) зависят от x1,..., хп, а потому уравнение (1) может принадлежать к разным типам при различных значениях аргументов. В последнем случае (уравнение смешанного типа) изучаемая область изменения аргументов состоит из зон, в которых тип уравнения (1) сохраняется. Если корень уравнения (2), переходя от положительных значений к отрицательным, обращается в нуль, то между зонами эллиптичности и гиперболичности расположены зоны параболичности (надо отметить, что и в ряде др. отношений параболического уравнения занимают промежуточное положение между эллиптическими и гиперболическими).
Для линейных уравнений с частными производными выше 2-го порядка и для систем уравнений с несколькими искомыми функциями классификация более сложна.
6.2. Волновое уравнение
Волновое уравнение:
– простейшее уравнение гиперболического типа, а также соответствующие неоднородные уравнения (в правой части которых добавлены известные функции) – телеграфное уравнение и т.д. Уравнения и системы этого типа появляются при анализе различных колебаний и волновых процессов. Свойства уравнений и систем гиперболического типа во многом аналогичны свойствам приведённых простейших таких уравнений.