Кинематика вращательного движения. Угловая скорость и угловое ускорение

Вращательным называется движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной прямой – оси вращения.

Угловой путь – элементарные бесконечно малые повороты можно рассматривать как векторы.

Правило правого винта: поступательное двежение острия винта при вращении его ручки в направлении движения точки по окружности покажет направление вектора углового пути.

Углова́я ско́рость — векторная физическая величина, характеризующая скорость вращения тела. Вектор угловой скорости по величине равен углу поворота тела в единицу времени:

,

Линейную скорость (совпадающую с модулем вектора скорости) точки на определенном расстоянии (радиусе)   от оси вращения можно считать так:  ∆S=r*∆φ

Углово́е ускоре́ние — физическая величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости твёрдого тела.

При вращении тела вокруг неподвижной оси, угловое ускорение ε=dW / dt

Вектор углового ускорения ε направлен вдоль оси вращения (в сторону   при ускоренном вращении и противоположно   — при замедленном).

Тангенциальная составляющая ускорения   Нормальная составляющая ускорения    Значит, связь между линейными (длина пути s, пройденного точкой по дуге окружности радиуса R, линейная скорость v, тангенциальное ускорение аτ, нормальное ускорение аn) и угловыми величинами (угол поворота φ, угловая скорость ω, угловое ускорение ε) выражается следующими формулами: 

s = Rφ, v = Rω, аτ = R*ε, an = ω2*R.

В случае равнопеременного движения точки по окружности (ω=const):ω = ω0 ± ε*t, φ = ω0t ± ε*t2/2, где ω0 — начальная угловая скорость.

Механика. Кинематика поступательного движения. Скорость, ускорение, траектория, длина пути, вектор перемещения. Системы отсчета. Ускорение и его составляющие.

Механика – наука о движении и равновесии тел.

Поступательное движение — это механическое движение системы точек (тела), при котором любой отрезок прямой, связанный с движущимся телом, форма и размеры которого во время движения не меняются, остается параллельным своему положению в любой предыдущий момент времени.

При поступательном движении:

все точки тела описывают одинаковые траектории;

скорости  всех точек тела одинаковые в данный момент времени  ;

ускорение всех точек тела одинаковые в данный момент времени  ;

Движение любого объекта в кинематике изучают по отношению к некоторой системе отсчета, включающей:

Тело отсчета;

Систему измерения положения тела в пространстве (систему координат);

Прибор для измерения времени (Часы).

Положение точки М относительно системы отсчета можно задать не только с помощью трех декартовых координат  , но также с помощью одной векторной величины   - радиуса-вектора точки М, проведенного в эту точку из начала системы координат (рис. 1.1). Если   - единичные вектора (орты) осей прямоугольной декартовой системы координат, то r=i*x+j*y+k*z.

Средняя скорость — векторная физическая величина равная отношению вектора перемещения к промежутку времени, за который происходит это перемещение:

.

Мгновенная скорость — векторная физическая величина, равная первой производной от радиус-вектора по времени:

.

Характеризует быстроту перемещения материальной точки. Мгновенную скорость можно определить как предел средней скорости при устремлении к нулю промежутка времени, на котором она вычисляется:

.

Единица измерения скорости в системе СИ— м/с,. Мгновенная скорость всегда направлена по касательной к траектории.

Траектория — это линия вдоль которой движется М. Т.  Длину участка траектории между начальным и конечным моментами времени называют пройденным расстоянием, длиной пути и обозначают буквой S. При таком описании движения S выступает в качестве обобщенной координаты, а законы движения в этом случае записывается в виде S = S(t).

Вектор перемещения – это направленный отрезок прямой, соединяющий начальное положение тела с его последующим положением.

Система отсчёта — это совокупность тела отсчета, связанной с ним системы координат и системы отсчёта времени, по отношению к которым рассматривается движение каких-либо материальных точек или тел.

Математически движение тела по отношению к выбранной системе отсчёта описывается уравнениями, которые устанавливают, как изменяются с течением времени t координаты, определяющие положение тела (точки) в этой системе отсчёта. Эти уравнения называются уравнениями движения. Например, в декартовых координатах х, y, z движение точки определяется уравнениями  ,  ,  .

Вектор ускорения материальной точки в любой момент времени находится путём дифференцирования вектора скорости материальной точки по времени:

.

Ускорение точки при прямолинейном движении

Если вектор   не меняется со временем, движение называют равноускоренным. При равноускоренном движении справедливы формулы:

.

Частным случаем равноускоренного движения является случай, когда ускорение равно нулю в течение всего времени движения. В этом случае скорость постоянна, а движение происходит по прямолинейной траектории (если скорость тоже равна нулю, то тело покоится), поэтому такое движение называют прямолинейным и равномерным.

Ускорение точки при движении по окружности

Вектор ускорения

при движении точки по окружности можно разложить на два слагаемых (компоненты):

Тангенциальное ускорение —   направлено по касательной к траектории (обозначается иногда   и т.д., в зависимости от того, какой буквой в данной книге принято обозначать ускорение). Является составляющей вектора ускорения a. Характеризует изменение скорости по модулю.

Центростремительное или Нормальное ускорение   — возникает (не равно нулю) всегда при движении точки по окружности (конечного радиуса) (также обозначается иногда   и т. д.). Является составляющей вектора ускорения a, перпендикулярной вектору мгновенной скорости. Вектор нормального ускорения всегда направлен к центру окружности, а модуль равен:

Угловое ускорение — показывает, на сколько изменилась угловая скорость за единицу времени, и, по аналогии с линейным ускорением, равно: