13.Умозаключение из суждений с отношениями

Умозаключение, посылки и заключение которого являются суждениями с отношениями, называется умозаключением с отношениями.

Например:

Петр — брат Ивана. Иван — брат Сергея.

Петр — брат Сергея.

Посылки и заключение в приведенном примере — суждения с отношениями, имеющие логическую структуру xRy, где х и у — понятия о предметах, R — отношения между ними.

Логическим основанием умозаключений из суждений с отношениями являются свойства отношений, важнейшие из которых — 1) симметричность, 2) рефлексивность и 3) транзитивность.

1. Отношение называется симметричным (от греческого simmetria—«соразмерность»), если оно имеет место как между предметами х и у, так и между предметами у и х. Иначе говоря, перестановка членов отношения не ведет к изменению вида отношения. Симметричными являются отношения равенства (если а равно Ь, то и b равно а), сходства (если с сходно с d, то и d сходно с с), одновременности (если событие х произошло одновременно с событием у, значит, и событие у произошло одновременно с событием х), различия и некоторые другие.

Отношение симметричности символически записывается:

xRy — yRx.

2. Отношение называется рефлексивным (от латинского reflexio — «отражение»), если каждый член отношения находится в таком же отношении к самому себе. Таковы отношения равенства (если а = Ь, тоа = аиЬ = Ь)и одновременности (если событие х произошло одновременно с событием у, значит, каждое из них произошло одновременно с самим собой).

Отношение рефлексивности записывается:

xRy -+ xRx Л yRy.

3. Отношение называется транзитивным (от латинского transitivus — «переход»), если оно имеет место между х и z тогда, когда оно имеет место между х и у и между у и z. Иначе говоря, отношение является транзитивным (переходным) тогда и только тогда, когда из отношения между х и у и между у и z следует такое же отношение между х и z.

Транзитивными являются отношения равенства (если а равно b и b равно с, то а равно с), одновременности (если событие х произошло одновременно с событием у и событие у одновременно с событием z, значит, событие х произошло одновременно с событием z), отношения «больше», «меньше» (а меньше b, b меньше с, значит, а меньше с), «позднее», «находиться севернее (южнее, восточнее, западнее)», «быть ниже, выше» и т. п.

Отношение транзитивности записывается:

(xRy Л yRz) -* xRz.

Для получения достоверных заключений из суждений с отношениями необходимо опираться на правила:

Для свойства симметричности (xRy -* yRx): если суждение xRy истинно, то суждение yRx тоже истинно. Например:

А подобно В. В подобно А.

Для свойства рефлексивности (xRy -+ xRx л yRy): если суждение xRy истинно, то истинными будут суждения xRx и yRy. Например:

а = Ь. а = а и b = b.

Для свойства транзитивности (xRy л yRz -* xRz): если суждение xRy истинно и суждение yRz истинно, то суждение xRz также истинно, Например:

К. был на месте происшествия раньше Л. Л. был на месте происшествия раньше М.

К. был на месте происшествия раньше М.

Таким образом, истинность заключения из суждений с отношениями зависит от свойств отношений и регулируется правилами, вытекающими из этих свойств. В противном случае заключение может оказаться ложным. Так, из суждений «Сергеев знаком с Петровым» и «Петров знаком с Федоровым» не следует необходимого заключения «Сергеев знаком с Федоровым», так как «быть знакомым» не является транзитивным отношением.