Ответы на контрольные вопросы

1. Трансцендентные уравнения – уравнения, которые имеют трансцендентные функции.

,

,

.

2. Методы определения интегралов:

2.1Метод прямоугольников:

При использовании метода прямоугольников (рис. 1) для вычисления суммы S1 используются формулы:

S1 = h[f(X₁) + f(X₂) + ... f(X_n)], где X₁ = A + h/2, X₁ = X_i-1 + h.

2.2 Метод трапеций:

При использовании метода трапеций (рис. 2) для вычисления суммы S₁ используются формулы:

S1 = 0.5 h {f(A) + f(B) + 2[f(X₁) + f(X₂) + ... + f(X_n-1)]},

где X₁ = A + h, X₁ = X_i-1 + h.

2.3 Метод парабол (Симпсона):

При использовании метода Симпсона для вычисления суммы S₁ используется формула:

S1 = {f(A) + f(B) + ... + 2[f(A+h) + f(A+3h) + ... + f(A+(n-1)h] + 4[f(A+2h) + f(A+4h) + ... + f(A+(n-2)h)]},

где n - четное число.

Для вычисления суммы S2 используются те же формулы, только при измененных значениях шага аргумента h и количества интервалов n. 4.

3. Метод итераций (последовательных приближений):

Преобразование уравнения к итерационному виду:

Перепишем уравнение F(x) = 0 в виде

x = f(x) (1)

Это преобразование можно сделать различными способами. Например, если

F(x) = x² – c = 0,

то можно прибавить к правой и к левой частям х:

x = x² +x -c

или можно разделить все выражение на х:

.

В некоторых случаях, помимо вышеуказанных преобразований, используют следующий прием:

а) уравнение F(x) = 0 преобразуем к виду

x = x - m F(x),

где m – отличная от нуля константа. В этом случае:

f(x) = x - m F(x)

Продифференцируем это уравнение:

f'(x) =1 - m F'(x)

Для того, чтобы выполнялось условие (3) теоремы 1 (см. теорему ниже):

f'(x)=1 – mF'(x)  q < 1, достаточно подобрать m так, чтобы для всех х отрезка [a; b] значение mF'(x) 1;

б) пусть уравнение F(x) = 0 записано в виде x = f(x), однако при исследовании функции f(x) на отрезке [a; b] оказалось, что для всех х из этого отрезка f'(x) > 1. Тогда вместо функции y = f(x) рассматривают функцию g(x), обратную для f(x). По свойству производных обратных функций теперь на отрезке [a; b] будет иметь место:

,

так что для уравнения x = g(x), равносильного исходному, условие (3) теоремы 1 оказывается выполненным.

Метод простой итерации

Заменим уравнение F(x) = 0 равносильным уравнением x = f(x). Пусть  - корень этого уравнения, а х₀ - полученное каким-либо способом нулевое приближение к корню . Подставляя х₀ в правую часть нашего уравнения получим некоторое число x₁ = f(x₀). Проделаем то же самое с x₁, получим х₂ = f(x₁) и т.д. Применяя шаг за шагом соотношение x_n = f(x_n-1) для n = 1, 2, …, получим числовую последовательность

x₀, x₁, …, x_n, …,

которую называют последовательностью приближений или итерационной последовательностью (от лат. iteration - повторение).

Последовательность приближений может быть как сходящейся, так и расходящейся. Если последовательность сходится, а функция f(x) непрерывна, то предел последовательности является корнем уравнения x = f(x).

Достаточные условия сходимости итерационного процесса определяются следующей теоремой.

Теорема 1. Пусть уравнение x = f(x) имеет единственный корень на отрезке [a; b] и выполнены условия:

1. f(x) определена и дифференцируема на [a; b];

2. f(x)  [a; b] для всех х  [a; b];

3. существует такое вещественное q, что f’(x) q <1 для всех х  [a; b].

Тогда итерационная последовательность x_n = f(x_n-1) (n = 1, 2, …) сходится при любом начальном члене х₀  [a; b].

Заметим, что условия теоремы 1 не являются необходимыми, т.е. итерационная последовательность может оказаться сходящейся и при невыполнении этих условий.