17. Понятие первообразной. Основные свойства (лемма, теорема)

ФункцияF(x) называется первообразной для функции f(x)на некотором промежутке Х, если для любого х Х выполняется условие F’(x)=f(x). Например, функция F(x)=sinx является первообразной для функции f(x)=cosx на всей прямой, т.к. при любом значении x(sinx)’=cosx

Замечание.Задача нахождения первообразной решается неоднозначно.Действительно,если F(х) первообразная,то F(х)+с,где с-const,также явл первообразной,т.к. (F(х)+с)′=F′(х)+0=f(х) для всех х€Х.

Лемма: Функция, производная которой на некотором промежутке Х равна 0 постоянна на этом промежутке. f’(x)=0(xX), то f(x)=c для всех х€Х.

Доказательство:Рассмотрим 2точки .Пусть х1<х2,тогда по Т. Лагранжа, f(x2)-f(x1)=f’(х0)(x2-x1), где х0€ (x1;x2). Т.к. f’(х0)=0, то f(x2)=f(x1)=0, т.е. f(x)=С, где С- некоторое число.

[Т] Если F(x)- первообразная для функции f(x) на некотором промежутке Х, то любая другая первообразная для f(x) на том же промежутке может быть представлена в виде F(x)+C.

Доказательство: Пусть F(x)- первообразная для функции f(x) на некотором промежутке Х, т.е. F’(x)=f(x). Пусть Ф(х) некоторая другая первообразная для функции f(x) на промежутке Х, т.е. Ф’(x)=f(x). Тогда для любого хХ (Ф(x)-F(x))’=Ф’(x)-F’(x)=f(x)-f(x)=0 Т.о. мы получили, что производная функции равна 0, а это означает по лемме, что функция Ф(х)-F(x) постоянна, т.е. Ф(х)-F(x)=С, на промежутке Х, где С- некоторое число. Следовательно, Ф(х)=F(x)+C.

Следствие 1: множество функций F(x)+C исчерпывает все множество первообразных функций для f(x).

23. Услоловия сущ-ия опр интеграла.Суммы Дарбу.Необход и достат условия.

[Т](необход усл) Если ф-ия f(x) интегрир на отрезке [a,b],то она непрерывна на этом отрезке.

Замечание. Данное усл-е не явл достаточным.

Ф-я Дарбу [a,b]

F(x)= 0,x-иррац

1,х-рац

[0,1]-разбиением τ1 в качестве точек α_i¹ – иррац.

Разбиением τ2 α_i² - рац.

σ= ∑f(α_i¹)∆₀¹=0

σ= ∑f(α_i²⁾∆²₀=|b-a|=1 при i=1

Т.о. посл-ть интеграл сумм не имеет предела при λ→0.

Замечание. Сущ. Необходимые и достат усл-я,которые устанавливаются при помощи понятия суммы Дарбу.

18. Понятие неопределенного интеграла.

Если функция F(x) является первообразной для функции f(x) на промежутке Х, то множество функций {F(x)+C} называется неопределенным интегралом от функции f(x) на этом промежутке и обозначается символом f(x)dx=F(x)+C. При этом f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx- подынтегральным выражением, а переменная х- переменная интегрирования. f(x)dx- выражает множество всех первообразных для функции f(x) на промежутке Х.

Восстановление функции по ее производной,т.е. отыскание неопределенного интеграла называется интегрированием этой функции, т.к. F’(x)=f(x) F’(x)dx=F(x)+C

Интегрирование- операция обратная дифференцированию.

Замечание1.Чтобы проверить правильное интегрирование достаточно продифференцировать результат и получить при этом подынтегральную функцию.

Замечание2.Далее будет доказано,что любая непрер функция имеет на этом отрезке первообразную,сл-но неопр интеграл.

Таблица основных интегралов:

1. 0dx=C

2. dx=x+C

3. х^ dx=

4. а^хdx=а^х/lna+C

5. dx/x=ln|x|+C

6. e^хdx=e^х+C

7. sinxdx=-cosx+C

8. cosxd'x=sinx+C

9. dx/cos²x=tgx+C

10. dx/sin²x=-ctgx+C

11. dx/ =arcsinx +C=-arccosx+c

12. dx/1+x²=arctgx+C=-arcctgx+C

13. dx/x²+ a² =1/a arctgx/a+C

14. dx/x²-a² =1/2a ln|x-a/x+a|+C

15. dx/ =arcsin x/a +C

16. dx/

Основные свойства неопр интеграла:

1. (f(x)dx)’=f(x) и d'( f(x)dx)=f(x)dx Доказательство: (f(x)dx)’=(F(x)+C)’=F’(x)=f(x) и df(x)dx=(f(x)dx)’dx=f(x)dx

2. dF(x)=F(x)+C. Доказательство: т.к. d'F(x)=F’(x)d'x, то по определению F'(x)d'x=F(x)+C

3. kf(x)dx=kf(x)dx. Доказательство: (kF(x))’=kF’(x)=kf(x). Из определения следует, что kf(x)dx=k[F(x)+C]=kF(x)+C1=kf(x)dx, где С1=кС, ч.т.д.

4. (f(x)g(x))dx=f(x)dxg(x)dx. Доказательство: пусть F(x) и G(x) являются первообразными для функций f(x) и g(x) на промежутке Х, т.е. хХ F’(x)=f(x), G'(x)=g(x). Тогда функции F(x)G(x) являются первообразными для функция f(x)g(x). Следовательно, f(x)dxg(x)dx=(F(x)+C1)(G(x)+C2)=(F(x)G(x))+(C1C2)=[F(x)G(x)]+C=(f(x)g(x))dx