- •[Править]Определение
- •13) Вторая производная и ее физический смысл
- •Физический смысл второй производной
- •24) Определение вектора
- •Равенство двух векторов
- •Действие над векторами и их свойства
- •Сфера в трёхмерном пространстве
- •Аксиомы стереометрии и их следствия
- •Перпендикулярные прямые
- •[Править]Построение перпендикуляра
- •[Править]Координаты точки основания перпендикуляра к прямой
- •Двугранный угол
- •Угол между плоскостями
24) Определение вектора
Рассмотрим на плоскости две точки A и B. Обозначим через вектор AB, понимая под этим направленный отрезок AB, т. е. отрезок, у которого точка A является началом, а точка B -- концом . Таким образом, точки A и B, ограничивающие вектор , играют различную роль. Именно в этом в первую очередь и состоит главное различие между вектором и отрезком AB. Две точки A и B плоскости задают два различных вектора и одинаковой длины и противоположно направленные. |
|
Равенство двух векторов
Два вектора и , расположенные на одной прямой, считаются равными, если равны отрезки AB и CD, т. е. равны длины этих векторов, а лучи AB и CD задают одинаковые направления. Если же векторы и не расположены на одной прямой, то они считаются равными, если четырехугольник ABDC (вершины рассматриваются в данном порядке) является параллелограммом. Таким образом, мы можем вектор не только перемещать вдоль соответствующей прямой, но и переносить его начало в любую точку плоскости. Следовательно, для обозначения вектора нет необходимости указывать его начало и конец, и можно использовать обозначения вида a , b ,l и т. п., помещая в случае необходимости начало соответствующего вектора в удобную точку плоскости. Для длины вектора a будем использовать обозначение | a | - читается: "длина вектора a" или "модуль вектора a" |
Действие над векторами и их свойства
Ключевые слова: вектор, сумма, разность векторов, координаты вектора
Вектор - это направленный отрезок.
Суммой векторов − a(a1;a2) и − b(b1;b2) называется вектор − c a1+b1;a2+b2 , т.е. − a a1;a2 +− b b1;b2 =− c a1+b1;a2+b2 .
Для любых векторов − a(a1;a2) и − b(b1;b2) справедливы равенства:
переместительный закон: − a+− b=− b+− a;
сочетательный закон: − a+(− b+− c)=(− a+− b)+− c;
из переместительного и сочетательного законов следует, что, складывая любое число векторов, можно как угодно переставлять и группировать слагаемые.
Каковы бы ни были три точки A , B и C , имеет место векторное равенство −− AB+−− BC=−− AC
Разностью векторов − a(a1;a2) и − b(b1;b2) называют такой вектор − c(c1c2), который в сумме с вектором − b(b1;b2) дает вектор − a(a1;a2). Таким образом: − c(c1c2) + − b(b1;b2) = − a(a1;a2), откуда c1 =a1 - b1 и c2 = a2 - b2.
Произведением вектора − a(a1;a2) на число называется вектор − b(b1;b2), такой что b1 = a1 и b2 = a2. т.е. − a(a1;a2)=− b( a1; a2).
Скалярным произведением двух ненулевых векторов называют произведение длин этих векторов на косинус угла между ними: S=− a − b= − a − b cos , если угол между векторами равен
25) Скаля́рное произведе́ние — операция над двумя векторами, результатом которой является число (скаляр), не зависящее от системы координат и характеризующее длины векторов-сомножителей и угол между ними. Данной операции соответствует умножение длины данного вектора x на проекцию другого вектора y на данный вектор x. Эта операция обычно рассматривается как коммутативная и линейная по каждому сомножителю.
Обычно используется одно из следующих обозначений:
,
,
,
или (обозначение Дирака, часто применяемое в квантовой механике для векторов состояния):
.
Обычно предполагается что скалярное произведение положительно определено, то есть
для всех .
Если этого не предполагать, то произведение называется индефинитным.
26) прямоугольная система координат
Прямоугольная система координат - прямолинейная система координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве. Наиболее простая и поэтому часто используемая система координат. Очень легко и прямо обобщается для пространств любой размерности, что также способствует ее широкому применению.
Связанные термины: Декартовой обычно называют прямоугольную систему координат с одинаковыми масштабами по осям, а общей Декартовой системой координатназывают аффинную систему координат (не прямоугольную). [1]
Действие над векторами, заданными координатами
Теорема 3. Пусть на плоскости выбран векторный базис , и относительно него векторы и заданы своими координатами: . Тогда , т. е. при сложении или вычитании векторов складываются или вычитаются их одноименные координаты; , т. е. при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число. Теорема 3. Пусть на плоскости выбран векторный базис , и относительно него векторы и заданы своими координатами: . Тогда , т. е. при сложении или вычитании векторов складываются или вычитаются их одноименные координаты; , т. е. при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число.
Длина вектора Векторы Обозначения: Длина вектора, модуль (абсолютная величина):
Сумма векторов:
(правило треугольника) (рис. 1.22);
(правило параллелограмма) (рис. 1.23);
(правило многоугольника);
(правило параллелепипеда, - диагональ).
Разность векторов:
Формула вычитания векторов: (рис. 1.24).
Признак коллинеарности векторов:
27)векторы в пространстве и действия над ними
Вектором наз. упорядоченная совокупность чисел Х={X1,X2,...Xn} вектор дан в n-мерном пространстве. Т(X1,X2,X3). n=1,2,3. Геометрический вектор - направленный отрезок. |AB|=|a| - длинна. 2 вектора наз. коллинеарными, если они лежат на 1 прямой или ||-ных прямых. Векторы наз. компланарными, если они лежат в 1-ой плоскости или в ||-ных плоскостях. 2 вектора равны, когда они коллинеарны, сонаправленны, и имеют одинак-ую длинну.
1.умножение на число: произведение вектора А на число l наз. такой вектор В, который обладает след. св-ми: а) А||В. б) l>0, то АВ, l<0, то А¯В. в)l>1, то А<<span style="TEXT-DECORATION: underline">В, )l<1, то АВ. 2. Разделить вектор на число n значит умножить его на число, обратное n: а/n=a*(1/n).
3.Суммой неск-их векторов а и в наз. соединяющий начало 1-го и конец последнего вектора. 4. Разностью векторов а и в наз-ся вектор c, который, будучи сложенным с вектором в даст вектор а.
Скалярное произведение Определение 9.15.
Ненулевой вектор называется направляющим вектором прямой a, если он лежит либо на прямой a, либо на прямой, параллельной a.
О пределение 9.16.
Углом между ненулевыми векторами называется угол между прямыми, для которых данные вектора являются направляющими. Угол между любым вектором и нулевым вектором по определению считаем равным нулю. Если угол между векторами равен 90°, то такие вектора называются перпендикулярными. Угол между векторами будем обозначать так:
О пределение 9.17.
Скалярным произведением векторов и называется произведение их длин на косинус угла между ними:
|
28) уравнение прямой и плоскости
Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка
Ах + Ву + С = 0,
причем постоянные А, В не равны нулю одновременно, т.е. А2 + В2 0. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.
В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:
- C = 0, А 0, В 0 – прямая проходит через начало координат
- А = 0, В 0, С 0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох
- В = 0, А 0, С 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу
- В = С = 0, А 0 – прямая совпадает с осью Оу
- А = С = 0, В 0 – прямая совпадает с осью Ох
Уравнение сферы
Сфе́ра (греч. σφαῖρα — мяч) — замкнутая поверхность, геометрическое место точек в пространстве, равноудалённых от данной точки, называемой центром сферы. Сфера также является телом вращения, образованным при вращении полуокружности вокруг своего диаметра. Площадь сферы в градусной мере с учетом непостоянства значения размеров дуг составляет 41252.96 кв. градусов.
Сфера является частным случаем эллипсоида, у которого все три оси (полуоси, радиусы) равны. Сфера является поверхностьюшара.
Объёмы цилиндра, вписанной в него сферы, касающейся его основания, и двух конусов, имеющих общую вершину в центре основания и основания, равные основаниям цилиндра, находятся в соотношении 1:2:3[1]
Площадь сферы
Объем шара, ограниченного сферой
Площадь сегмента сферы
, где H — высота сегмента, а — зенитный угол