18.Регрессионный анализ и управление модельным экспериментом. Вычисление коэффициентов регрессии.

В общем случае объект исследования можно представить как некоторый «черный ящик» (рис.7.1), на входе которого действуют управляющие параметры х_i (i=1,2,…k) и неконтролируемые возмущения z_j (j=1,2,…m). Выходом объекта исследования являются показатели качества или какие либо другие характеристики объекта

Если рассмотреть зависимость одной из характеристик системы как функцию только одной переменной х_i (рис. 7.2), то при фиксированных значениях хi будем получать различные значения . Разброс значений в данном случае определяется не только ошибками измерения, а главным образом влиянием помех z_j. Сложность задачи оптимального управления характеризуется не только сложностью самой зависимости, но и влиянием z_j, что элемент случайности в эксперимент. График зависимости определяет корреляционную связь величин которая может быть получена по результатам эксперимента с помощью ме­тодов математической статистики. Вычисление таких зависимостей при большом числе входных параметров хi, и существенном влиянии помех zj и является основной задачей исследователя-экспери­ментатора. При этом чем сложнее задача, тем эффективнее становится применение методов планирования эксперимента.

Различают два вида эксперимента: пассивный и активный. При пассивном эксперименте исследователь только ведет наблюдение за процессом (за изменением его входных и выходных параметров). По результатам наблюдений затем делается вывод о влиянии входных параметров на выходные. Пассивный эксперимент обычно выполня­ется на базе действующего экономического (производственного) процесса, который не допускает активного вмешательства экспери­ментатора. Этот метод малозатратный, но требует большого времени. Активный эксперимент проводится главным образом в лаборатор­ных условиях, где экспериментатор имеет возможность изменять входные характеристики по заранее намеченному плану. Такой экс­перимент быстрее приводит к цели, и именно к нему применимы идеи планирования экстремального эксперимента.

На математическом языке задача установления взаимосвязей оп­тимизируемого процесса формулируется следующим образом: нуж­но получить некоторое представление о функции отклика

Координатное пространство с координатами xi, x_2, ... , x_k, назы­вают факторным пространством. Геометрический образ соответст­вующей функции отклика называется поверхностью отклика.

Будем рассматривать самый общий случай, когда исследование поверхности отклика ведется при неполном знании механизма изу­чаемых явлений. Естественно, что и в этом случае аналитическое выражение функции отклика неизвестно. Наиболее удобным оказа­лось представление функции отклика в виде полинома:

Пользуясь результатами эксперимента, можно определить выбо­рочные коэффициенты регрессии b0, bi, bij, bii, которые являются лишь оценками (приближенными значениями) для теоретических коэффициентов регрессии. Уравнение регрессии, полученное на ос­нове опыта, запишется так:

Допустим, что у нас имеется N результатов наблюдения величи­ны у, зависящей от х_1, х₂,... , х_k. Положим, что результаты наблюде­ний нужно представить полиномами степени d. Тогда число коэф­фициентов регрессии будет равно C_k+d (число сочетаний из k+d по d). Очевидно, необходимо, чтобы N>= C_k+d.

Для определения численных значений выборочных коэффициен­тов регрессии используется так называемый регрессионный анализ (метод наименьших квадратов). В регрессионном анализе полагает­ся, что выполняется ряд предпосылок.

1. Результаты наблюдений у1, у2, …, уn - независимые, нормаль­ но распределенные случайные величины. Речь идет о распределении у относительно некоторой фиксированной точки х1, х₂, ... , xk, так как на значение у влияют и другие неконтролируемые параметры. Если эта предпосылка не удовлетворяется, то коэффициенты регрессии найти можно, однако ничего нельзя будет сказать об эффективности метода, т.е. нельзя оценить точность уравнения регрессии. Если у не подчиняется нормальному распределению, то стараются подобрать такую функцию преобразования, чтобы перейти от у к новой случайной величине q=f(y), распределенной приближенно нормально. Например, для многих асимметричных распределений делается замена q = In у.

2. Дисперсии δ²_у = δ² {у_и}, и u = 1, 2, ..., N равны друг другу. Это значит, что если производить многократные и повторные наблюде­ния над величиной у_и при некотором определенном наборе значений x1u, x2u, ... , xku, то получим дисперсию δ²_у , которая не будет зави­сеть от математического ожидания М{у_и}, т.е. не будет отличаться от δ²_у, полученной при повторных наблюдениях для любого другого набора независимых переменных. Это требование также не всегда выполняется для реального эксперимента.

3.Независимые переменные x1, x2, …,xk измеряются с пренебрежимо малой ошибкой по сравнению с ошибкой в определении у.

При таких исходных предпосылках оказывается возможным вы­числить коэффициенты b0, bi, bij, bii, а также оценить их точность и точность уравнения регрессии (7.1) в целом.