22. Дифф ур-ия с разделяющимися переменными

Опр: Р(х)dx + Q(y)dy = 0 – дифф ур-ие с разделяющимися переменными (6)

общий интеграл уравнения (6)

23. ОДУ-1

Y`=f (x;y); f (λx; λy) = f (x;y); y=UX y`=U`x+U

24. ЛДУ-1

25. Бернулли

26. Диф ур-ия 2-го порядка допускающие понижение порядка.

1) y``=f(x)

2) y``= f(x;y`) – не зависит явно от у

y` = z(x) y`` = z` z=UV

27. ЛДУ-2.

(1)

(2)

Определитель Вронского (вронскиан) ф-ий у1 у2

y₁ и у₂ – линейно независимы на (а;в), если W≠0, и линейно зависимы на (а;в), если W≡0.

2 любых линейно независимых решения ур-ия (2), образуют фундаментальную систему решение (ФСР).

28. Структура общего решения ЛОДУ -2.

у1; у2 – ФСР (2), то

Док-во:

1. У – решение системы.

2. У(х₀) = у₀; у`(x<sub>0</sub>) =y`₀

C1 и C1 – неизв.

→ сист имеет единственное решение →данная лин. комбинация – общ решение (2)

29. Структура общего решения лнду -2.

Общее решение сост из

1. у – реш ур-ия

2. y(x₀) = y₀ y`(x<sub>0</sub>)=y`₀

30. Лоду с пост коэф.

Вид корней хар ур-ий	ФСР	Общее решение
К1 ≠ К2	у1 = еК1х у2 = еК2х	у= С1еК1х + С2еК2х
К1 = К2	у1 = еКх у2 = хеКх	у= С1еКх + С2хеКх
К1 = α + iβ K2 = α - iβ

31.Лнду с постоянными коэффициентами. Метод подбора.

Вид правой части	Вид ч.р.

Метод вариации произвольных постоянных для построения решения линейного неоднородного дифференциального уравнения

an(t)z(n)(t) + an − 1(t)z(n − 1)(t) + ... + a1(t)z'(t) + a0(t)z(t) = f(t)

состоит в замене произвольных постоянных ck в общем решении

z(t) = c1z1(t) + c2z2(t) + ... + cnzn(t)

соответствующего однородного уравнения

an(t)z(n)(t) + an − 1(t)z(n − 1)(t) + ... + a1(t)z'(t) + a0(t)z(t) = 0

на вспомогательные функции ck(t), производные которых удовлетворяют линейной алгебраической системе

Определителем системы (1) служит вронскиан функций z1,z2,...,zn, что обеспечивает её однозначную разрешимость относительно .

Если — первообразные для , взятые при фиксированных значениях постоянных интегрирования, то функция является решением исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения.

33. Основные определения числового ряда.

Числовые ряды - выражение типа

(1)

- члены ряда, - общий член ряда.

Ряд считается заданным, если задан общий член. Сумма первых n членов ряда называется n-ной суммой членов ряда.

- называют суммой ряда (1) и говорят, что ряд сходится.

Если предел не существует, то ряд (1) считается расходящимся.

Свойства рядов:

1) Если ряд (1) сходится, то сходится и ряд . (с - const)

2) Если ряд (1) сходится и ряд сходится, то сходится.

3) Если к ряду (1) прибавить (или отбросить) конечное число членов, то полученный ряд и ряд (1) сходящиеся и расходящиеся одновременно.