Математическое моделирование 4

Мат-кое моделирование – это изучение поведения объекта в тех или иных условиях путем решения ур-ий его мат-кой модели. Данный метод базируется на мат-ком подобии. В мат-ки подобных объектов процессы могут обладать различной физической природой, но описываются идентичными ур-ями. В качестве примера рассмотрим несколько различных по физической природе явлений и их мат-кое описание.

1. Закон Фика: j= -D*dC/dx

2. Закон Фурье: q= -λ*dT/dx

3. Закон Ньютона: f_mp= -μ*dF/dx

4. Закон Ома: j= -χ*dH/dx

Знак «-« при коэф-тах ур-ий означает, что поток направлен из области с большими зн-иями пар-ра в области, где этот пар-р имеет меньшее зн-ие.

Во всех 4-х законах наблюдается подобие мат-ких описаний различных физических явлений, поэтому любые из перечисленных процессов может служить моделью другого.

Среди рассмотренных примеров электрическая модель явл-ся наиболее удобной и может быть применена для нескольких оригиналов с различной физической природой, т. е. она становится универсальной.

На такой модели производится не сам физический процесс, а его мат. Описание или аналогия между законами, которые выражают явления в оригинале и модели.

Практика научных исследований подтвердила, что правомочно представлять изучаемый процесс на модели. Который протекает в другой по своей сути природе процесс.

Гомоморфизм – соответствие некоторых св-в оригинала св-вам модели.

Изоморфизм – взаимный гомоморфизм, когда все св-ва модели соответствуют св-вам оригинала.

В начале своего развития мат. Моделирование было аналоговым.

Использование метода аналогии привело к появлению аналоговых вычислительных машин (АВМ) – это электромагнитные устройства, состоящие из интегралов, сумматоров, усилителей и т.д.

На АВМ моделируются физические явления, которые аналогичны эффектам электронной природы.

По сравнению с физическим мат. Моделирование – более универсальный метод. Мат. Моделирование позволяет осуществлять с помощью одного устройства решение целого класса задач, имеющих одинаковое мат. Описание, обеспечивает простоту перехода от одной задачи к другой, позволяет вводить переменные пар-ры возмущения и различные начальные условия, дает возможность проводить моделирование по частям, т.е. по элементарным процессам. Экономичнее метода физического моделирования.

5Методы составления мат. Моделей(эмпирический)

Построение модели в общем случае включает составление мат. Описания, решения ур-ий мат. Описания аналитически или путем создания вычислительного алгоритма, проверку адекватности модели, окончательный выбор модели при наличии нескольких моделей. Существует 3 метода мат. Описания:

1. Эмпирический (экспериментально-статический метод «черного ящика»);

2. Экспериментально-аналитический (феноменологический);

3. Теоретический (структурный)

Эмпирический метод.(ЭМ)

ЭМ используется в основном когда процесс мало изучен или ничего неизвестно о его природе, также этот метод позволяет получить мат. Описание действующего объекта без исследования его внутренней структуры.

Внешние связи любой системы можно представить в виде схемы

– контролтруемые, но нерегулируемые пар-ры;

– контролируемые и регулируемые пар-ры;

- неконтролируемые и нерегулируемые (возмущение);

-векор входящих пар-ров.

Модель «черного ящика» - модель объекта, созданная без относительно внутренних св-в объекта, без учета физической сущности процессов, протекающих в нем. Данная модель отражает зависимость зн-ий выходящих пар-ров от входных

Мат. Описание в самом общем виде представляет собой систему ур-ий (*).

В принципе эту систему ур-ий определяет зависимость i-го выхода от всех входных воздействий. Однако установить вид функции F системы (*) принципиально невозможно, т.к. возмущения не известны. Однако в большинстве случаев каждое из ур-ий (*) можно представить в виде:

Y_i=F(U_i,X_i)+f(Z_i)

Т.е. ф-ия разбивается на 2 слагаемых: зависимость F от контролируемых пар-ров и погрешность «шум F». Теперь задача ставится таким образом: установить вид ф-ии F и оценить «шум F». Под мат. Моделью будем понимать именно Y_i=F(U_i,X_i). Это ур-ие, устанавливающее связь между выходными пар-рами наз-ют ур-иями регрессии.

Наиболее часто эту ф-ию представляют алгебраическим многочленом. Обычно рассматривают более простые многочлены, отклонения опытных точек от расчетных сравнивают со случ. Ошибкой эксперимента, если обе величины оказываются одного порядка, то описание считают ур-ием.

Если отклонение нельзя объяснить случ. Ошибкой, то рассчитывают более сложный многочлен, по мере увеличения порядка многочлена точность описания обычновозрастает, но одновременно увеличивается требуемое число опытов для нахождения коэф-тов многочленов. А во-вторых, усложняется трактовка модели.

Ур-ние регрессии можно получить одним из 3-х способов:

1. Пассивный эксперимент;

2. активный эксперимент;

3. определение реакции объекта на стандартные возмущения

Пассивный эксперимент: производится сбор и анализ информации о состоянии технологических пар-ров объекта без спец. изменения входных пар-ров процесса. Достоинства этого метода: практически отсутствуют затраты на эксперимент. Недостатки: в нормальных условиях эксплуатации колебания технологического режима невелики и поэтому экспериментальные точки располагаются близко друг к другу. В этих условиях на точность описания могут сильно повлиять случ. ошибки и систематичная погрешность.

Активный эксперимент: состоит в целенаправленном изменении входных пар-ров технологического процесса. В основе этого метода лежит планирование эксперимента.

Практически все процессы явл-ся сложными и на показатели процесса оказывают влияние большое число факторов. Возможны 2 подхода к исследованию таких многофакторных систем.

1-ый основан на том ,что исследование объекта разбивается на серии, в каждой из которых исследуется изменение только одного пар-ра при фиксировании остальных.

2-ой подход основан на построении плана эксперимента, который предусматривает изменение всех влияющих факторов. Такой план должен обеспечить минимум корреляции между факторами и максимум точности.

Достоинством 1-го подхода явл-ся его наглядность и простота итерации получаемых результатов.

2-ой подход значительно эффективнее. В качестве примера рассмотрим влияние температуры X₁ и времени пребывания X₂ на выход продукта Y.

Мат. Модель молучим в виде полинома 1-ой степени лин. ур-ия регрессии:

y=b₀+b₁x₁+b₂x₂

Для этого используют планы 1-го порядка, которые строятся след-щим образом: выбирается центр исследуемой области (центр плана) и в него переносятся начало коор-т, задаются максимальные и минимальные н-ия входных пар-ров x₁ и x₂, составляется план эксперимента, при этом каждый фактор принимает лишь 2 зн-ия: верхнее и нижнее

На след-щем этапе переменные кодируются, при этом коор-ты центра плана приравниваются к 0, а интервалы варьирования принимают за 1. Кодирование переменных значительно облегчает обработку результатов опытов, которые проводятся в стандартной форме, не зависящей от конкретных условий задачи. Матрица планирования для выбранных переменных имеет вид:

X1	X2	Y
+1	+1	y1
+1	-1	y2
-1	+1	y3
-1	-1	y4

Рассматриваемый план построен так, что каждый фактор варьируется на 2-х уровнях, причем перебираются все возможные комбинации двух уровней факторов. Такой план наз-ют планом полного факторного эксперимента на 2-х уровнях.

Для расчета коэф-тв, учитывающих взаимное влияние факторов по плану полного факторного эксперимента, нужно построить матрицу, содержащую 4 столбца: x₀,x₁,x₂,x₁x₂, причем произведение 2-х факторов x₁x₂ можно обозначить как самостоятельный фактор x₃.

Дополним матриц плана столбцом зн-ий отклика Y, полученных в опыте. Образуется расширенная матрица.

X0	X1	X2	X3	Y
+1	-1	-1	+1	y1
+1	+1	-1	-1	y2
+1	-1	+1	-1	y3
+1	+1	+1	+1	y4

Эта матрица позволяет построить систему нормальных ур-ий:

Каждая из сумм, стоящих на диагонали, имеет вид:

и всегда x_ij²=+1, а эта сумма =4.

Рассмотрим теперь любую сумму, не попавшую на главную диагональ, например

Произведение величин, стоящих в столбцах x₂ и x₂, составляют для 4-х строк соот-но +1, -1, -1, +1, а их сумма =0. То же самое верно для любой внедиагональной суммы. Поэтому система ур-ий принимает вид:

4b₀=

4b₁=

4b₂=

4b₃=

Откуда легко выражаются коэф-ты: b₀,b₁,b₂,b₃

Такая простота решения обусловлена ортогональностью матрицы планирования.

Кроме простоты расчетов ортогональность столбцов означает отсутствие корреляции соот-щих факторов. Это дает возможность независимо оценить влияние каждого фактора, а также упрощать модель путем исключения незначительных факторов.

Т.о., активный эксперимент позволяет за счет целенаправленного изменения входных параметров получить необходимый объем информации, при существенно меньшем числе опытов. Чем при пассивном эксперименте.

Следующим способом моделирования явл-ся определение реакции объекта на стандартное возмущение, когда на вход объекта подается какой-либо стандартный сигнал: единичный импульс, ступенчатое или синусоидальное возмущение или ф-ии Дирака

Исследование объекта при нанесении стандартных возмущений заметно облегчает обработку получаемой информации. Этим способом в основном пользуются при изучении динамики объекта, при определении гидродинамической обстановки в объекте.

При использовании эмпирических методов мат-кое описание составляется след-щим образом:

1)проводят эксперимент методом «черного ящика», т.е. изучается реакция объекта на различные возмущения;

2)осуществляется статистическая обработка результатов и поиск наилучшей формы аппроксимации полученных данных;

3) строится мат. описание

Единственным критерием применимости полученного мат. описания явл-ся наибольшая простота ур-ий при хорошей аппроксимации экспериментальных данных.