Уравнение плоской волны, распространяющейся в произвольном направлении

Логика получения уравнения волны, распространяющейся в направлении, образующем с осями координат х, у, z углы ,  и  полностью соответствует выводу в предыдущем параграфе.

Пусть колебания в плоскости, проходящей через начало координат (см. рисунок), имеют вид

₀ = а cos t (79.1)

Колебания волновой поверхности (плоскости), расположенной от начала координат на расстоянии l, отстают от колебаний начала на время  = l/u

 = а cos (t – l/u) (79.2)

Величину l легко представить как скалярное произведение единичного вектора n нормали к волновой поверхности на радиус вектор r любой точки рассматриваемой поверхности:

nr = rcos = l (79.3)

Тогда выражение (79.2) приобретет вид:

(79.4)

Отношение  /u равно волновому числу k. Вектор (волновой вектор)

k = kn (79.5)

равен по модулю волновому числу k = 2/ и имеет направление нормали к волновой поверхности. С использованием волнового вектора уравнение волны имеет вид:

(r, t) = а cos( t – kr) (79.6)

Данная функция есть соотношение, описывающее волну, бегущую в направлении n. Переход к конкретным координатам очевиден:

kr = k_xx + k_yy + k_zz.

Тогда уравнение плоской волны принимает вид

(х, у, z; t) = a cos ( t – k_xx – k_yy – k_zz) (79.7)

где . Функция (79.7) дает отклонение точки с координатами х, у, z в момент времени t. В случае, когда n совпадает с осью х, k_x = k, k_y = k_z=0 и уравнение (79.7) переходит в уравнение (78.8).

Уравнение плоской волны можно также использовать в виде

 = ae^{i( t – kr)} (79.8)

Использование вещественной или мнимой части этого выражения определяется конкретными для рассматриваемой задачи условиями.

Волновое уравнение

Уравнение любой волны есть решение некоторого дифференциального уравнения, называемого волновым. Чтобы установить его вид, можно сопоставить вторые частные производные по координатам и времени от функции (79.7), описывающей плоскую волну. Продифференцировав (79.7) дважды по каждой из переменных, получим:

(80.1)

(80.2)

Суммирование уравнений (80.2):

(80.3)

и сопоставление (80.1) и (80.3) даёт:

Наконец, с учётом равенства получается выражение:

(80.4)

Левая часть этого уравнения может быть записана более компактно с помощью оператора Лапласа . Оператором Лапласа обозначают символически совокупность действий, которые дают сумму вторых частных производных по х, у, z от функции f этих переменных:

Тогда уравнение (80.4) можно записать в виде

Уравнение (80.4) и есть искомое волновое уравнение. Легко убедиться в том, что волновому уравнению удовлетворяет любая функция вида

f(x, у, z; t) = f(t–k_xx–k_yy–k_zz) = f [ (t,x,y,z)]. (80.5)

При этом:

(80.6)

Аналогично

(80.7)

Подстановкой выражений (80.6) и (80.7) в уравнение (80.4) легко убедиться в том, что функция (80.5) удовлетворяет волновому уравнению, если положить

u = /k.

Всякая функция, удовлетворяющая уравнению вида (80.4), описывает некоторую волну, причем корень квадратный из величины, обратной коэффициенту при , дает фазовую скорость этой волны. Вид волны, описываемой решением уравнения (80.4), определяется дополнительными условиями.

Скорость распространения упругих волн

Очевидно, что скорость распространения волн в среде определяется параметрами среды. Эта связь может быть найдена путём анализа движения в среде цилиндрического объема высотой х с площадью основания S при прохождении продольной плоской волны (рисунок).

В общем случае смещения  частиц с разными координатами х в данный момент времени различны. Если основание цилиндра с координатой х имеет в некоторый момент времени смещение , то смещение основания с координатой х + х будет  + . То есть деформация объема учтена.

Средняя относительная деформация цилиндра (х) = / х. Чтобы получить точную деформацию  в сечении х, нужно устремить х к нулю. Тогда

(81.1)

(знак частной производной взят потому, что  зависит не только от х, но и от t).

Появление деформации  ведёт к появлению нормального напряжения , равного отношению величины упругой силы к площади деформируемого объёма f / S . При малых величинах эти величины пропорциональны:

(81.2)

где Е – модуль Юнга среды. В упругой среде относительная деформация мала:  << 1.

Уравнение движения для цилиндрического объема. При очень малом х, ускорение цилиндра равно . Масса цилиндра равна S х, где  – плотность недеформированной среды.

Сила, действующая на цилиндр, равна произведению площади основания цилиндра S на разность нормальных напряжений в сечении (х + х +  + ) и в сечении (х + ):

(81.3)

Величину для малых  можно с хорошей точностью представить в виде

(81.4)

Так как величины х,  и  малы, выражение (81.3) тогда можно написать в виде:

Здесь учтена малость относительной деформации  << х, так что слагаемым  в сумме (х + ) можно пренебречь.

Тогда уравнение второго закона Ньютона получит вид:

откуда получается уравнение

которое представляет собой волновое уравнение (80.4). Это частный случай уравнения, так как предполагается, что  не зависит от y и z.

Из сопоставления (81.5) с (80.4) видно, что

Аналогичные вычисления для поперечных волн приводят к следующему выражению для скорости:

где G – так называемый модуль сдвига.