Канонический вид квадратичной формы

Говорят, что квадратичная форма имеет канонический вид в базисе , если . Базис называется каноническим.

В каноническом базисе матрица квадратичной формы имеет диагональный вид.

Теорема о приведении квадратичной формы к диагональному виду с помощью ортогональных преобразований: Всякую квадратичную форму в с помощью элементарных преобразований можно привести к каноническому виду.

Пусть , где A – симметричная матрица квадратичной формы, и пусть в выбран ортонормированный базис . Положим, что A – матрица линейного оператора в базисе . Известно, что именно матрицы самосопряжённых операторов в ортонормированном базисе обладают свойством симметричности. Поэтому можно считать, что A – матрица самосопряжённого оператора в базисе . Тогда в существует ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов самосопряжённого оператора. В этом базисе матрица этого оператора будет иметь диагональный вид и, следовательно, форма будет иметь канонический вид.

Говорят, что в базисе квадратичная форма имеет нормальный вид, если в этом базисе , где .

Теорема Лагранжа о приведении квадратичной формы к нормальному виду: Всякую квадратичную форму с помощью невырожденного преобразования можно привести к нормальному виду.

При исследовании кривой или поверхности второго порядка целесообразно применять ортонормированные преобразования, т.к. они сохраняют форму кривой.

Знакопостоянные квадратичные формы

Квадратичная форма , действующая в , называется

1. положительно определённой (или строго положительно определённой), если для .

2. отрицательно определённой (или строго отрицательно определённой), если для .

3. неотрицательно определённой (или нестрого положительно определённой), если для .

4. неположительно определённой (или нестрого отрицательно определённой), если для .

Квадратичная форма в называется знакопеременной, если .

Минор k-го порядка называется угловым, если он расположен на пересечении первых k строк и первых k столбцов.

Критерий Сильвестра: Для того чтобы квадратичная форма в была строго положительной, необходимо и достаточно, чтобы , где – угловой минор i-го порядка; строго отрицательной – .

Закон инерции квадратичной формы: Количество положительных и отрицательных элементов квадратичной формы в нормальном виде не меняется при переходе от одного базиса к другому.

Количество положительных коэффициентов квадратичной формы в каноническом виде называется положительным индексом инерции. Обозначение: . Соответственно и .

Критерий знакопостоянства по каноническому виду: Если для квадратичной формы в , то квадратичная форма строго положительно определённая, если , то строго отрицательно определённая, если – нестрого положительно определённая, если – нестрого отрицательно определённая.

Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду

Выберем на плоскости прямоугольную декартову систему координат и рассмотрим уравнение .

Инвариантами кривой второго порядка будем называть выражения, составленные из коэффициентов её уравнения, которые не меняются при переходе от одной декартовой системы координат к другой, т.е. при поворотах и параллельных переносах осей координат.

Для кривой второго порядка инвариантами являются .

Пусть . Тогда ч.т.д.

Если  и  выбрать из условия , то . Эта система будет иметь единственное решение тогда и только тогда, когда . При этом кривую называют центральной. Если , то кривая – кривая эллиптического типа, если – гиперболического, а если – параболического. Таким образом, к уравнению вида можно привести кривые эллиптического или гиперболического типа. Совершив ортогональные преобразования, можно привести эту кривую к виду , где – собственные числа ортогонального преобразования. Т.к.  и  - инварианты, то , следовательно, .