1.5 Симедиана и изогональное сопряжение

1.5.1 (Московская устная олимпиада по геометрии 2009) К двум окружностям w₁ и w₂, пересекающимся в точках и , проведена их общая касательная ( и — точки касания соответственно, точка ближе к прямой , чем ). Прямая, проходящая через , вторично пересекает w₁ и w₂ в точках и соответственно ( лежит между и ). Прямые и пересекаются в точке . Докажите, что — симедиана треугольника .

Доказательство:

1) Докажем, что . Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что а . Таким образом, треугольники подобны по двум углам.

2) Продлим общую хорду до пересечения с общей касательной (точка ). Точка будет серединой отрезка .

3) Так как треугольники подобны, то если провести медиану треугольника , то . Заметим, что, если доказать равенство углов и , то угол будет равен углу , то есть – симедиана треугольника (по первому определению). Известно, что . Таким образом, нужно доказать, что четырехугольник – вписанный. Рассмотрим треугольник . При этом, , следовательно, , что и требовалось.

Часть II. Основная задача

2.1 Симедиана и инверсия

2.1.1 В окружности с центром проведена хорда . Через точку – середину этой хорды проведен диаметр . Лучи и таковы, что ( и – точки пересечения этих лучей с окружностью лежат в одной полуплоскости относительно прямой ).

А) Докажите, что одна из симедиан треугольника лежит на прямой .

W

Доказательство:

Докажем, что . Продлим до пересечения с окружностью (см.рис). Тогда точки и симметричны относительно диаметра . Следовательно, , то есть что и требовалось.

Б) Докажите, что четырехугольник – вписанный.

Доказательство:

Заметим, что Таким образом, – вписанный четырехугольник.

В) Докажите, что все прямые , построенные таким образом, пересекают прямую в одной и той же точке , инверсной относительно данной окружности.

Доказательство:

Пусть – образ точки при инверсии относительно данной окружности (см. рис). Окружность, описанная около четырехугольника , переходит в прямую (поскольку точки и принадлежат окружности инверсии). Тогда точка принадлежит прямой .

С другой стороны, точка лежит на прямой и не зависит от положения прямой . Следовательно, все прямые проходят через фиксированную точку (образ точки при инверсии относительно данной окружности).

Комментарий: пункт В иногда называют теоремой о симметричной бабочке.

2.1.2 Точки , и — середины сторон , и треугольника соответственно, а — его высота. Окружности, описанные около треугольников и проходят через точку , отличную от

А) (Международная олимпиада по математике, 1970) Докажите, что четырехугольник – вписанный, а прямая проходит через середину .

Б) (Московская математическая олимпиада 2007) Докажите, что

Доказательство:

1) Докажем, что – вписанный. Действительно, ∠ , что и требовалось.

Поскольку мы пользовались только тем, что принадлежат сторонам треугольника, то доказано более общее утверждение: если взять точки и на сторонах треугольника , и соответственно, то окружности, описанные около треугольников , и пересекаются в одной точке.

2) Докажем, что – общая касательная для окружностей, описанных около треугольников и

Заметим, что треугольники и симметричны относительно . Из этого следует, что . По теореме об угле между касательной и хордой – касательная к окружности, описанной около треугольника . Для окружности описанной около доказательство аналогично.

3) MH – общая хорда, следовательно прямая пересекает общую касательную в середине отрезка . Таким образом, пункт А) доказан.

4) Теперь рассмотрим окружность, описанную около четырехугольника – середина хорды лучи и симметричны относительно . Из Задачи №2.1.1(А) следует, что – симедиана в треугольнике , а следовательно, и в треугольнике , так как эти треугольники гомотетичны с центром .

2.1.3 Точки и инверсны относительно окружности , причем – внутри . Через проводятся хорды . Докажите, что центры вписанной и одной из вневписанных окружностей треугольника – фиксированы.

Доказательство:

Пусть – точка пересечения с окружностью, а – хорда, проходящая через , перпендикулярная диаметру.

1) Из задачи №2.1.1 следует, что – симедиана в треугольнике , а – медиана, следовательно точки и симметричны относительно прямой . Таким образом, –биссектриса в треугольнике .­­

2) Заметим, что – точка пересечения двух биссектрис в треугольнике , следовательно – инцентр данного треугольника.

3) Рассмотрим , диаметрально противоположную . , следовательно – биссектриса внешнего угла треугольника а – биссектриса внутреннего угла. Таким образом, – точка пересечения биссектрис внешнего и внутреннего углов треугольника, то есть – центр вневписанной окружности треугольника .