1 Билет
1ч. Дифференциальные уравнения — это соотношение вида F(x1,x2,x3,..,y,y',y'',...y(n)) = 0, связывающее независимые переменные x1,x2,x3,... функцию y этих независимых переменных и ее производные до n-го порядка. При этом функция F определена и достаточное число раз дифференцируема в некоторой области изменения своих аргументов.
Порядок дифференциального уравнения — это порядок старшей входящей в него производной.
Общее решение дифференциального уравнения — это соотношение вида y = y(x,C1,C2,C3,...Cn), зависящее от n произвольных постоянных.
Частное решение дифференциального уравнения — это общее решение при заданных значениях постоянных C1,C2,C3,...Cn.
Задача коши формулируется следующим образом:
Найти y = y(x), удовлетворяющую уравнению
y’ = f(x,y) для x [a,b] при заданном начальном условии y(a) = y0.
Формула:
Примеры
1. – уравнение первого порядка;
– уравнение второго порядка;
– уравнение пятого порядка.
2. – решение, так как
3.Уравнение имеет решение:
.
4. Рассмотрим уравнение: . Отсюда или .
Поэтому , где С – произвольная постоянная.
– общий интеграл; – общее решение.
5. Уравнение . Его общее решение . Положим С=2, тогда – частное решение.
6. Уравнение имеет два общих решения: 1) 2)
Решение: есть частное по отношению к первому и особое по отношению ко второму общему решению.
7. . Общее решение .
2ч. Дискретной величиной(прерывной) называется: Случайная величина Х называется ,если множество ее значений конечное или бесконечное, но счетное.
Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями.
Выборочная средняя - значение Х выборки, случ величина, то математическое ожидание m(Х) равно выборочной средней:
2 Билет
1ч.
Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными.
Определение. Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида (3.1)
или уравнение вида (3.2)
Для того, чтобы в уравнении (3.1) разделить переменные, т.е. привести это уравнение к так называемому уравнению с разделенными переменными, произвести следующие действия:
Теперь надо решить уравнение g(y)= 0. Если оно имеет вещественное решение y=a, то y=a тоже будет решением уравнения (3.1).
Уравнение (3.2) приводится к уравнению с разделенными переменными делением на произведение :
, что позволяет получить общий интеграл уравнения (3.2): . (3.3)
Интегральные кривые (3.3) будут дополнены решениями , если такие решения существуют.
2ч.
Определение: Дисперсией D(X) случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
D(X)=M(X-M(X))2
Свойства дисперсии:
1)D(C)=0, где С-постоянная величина;
2)D(X)>0, где Х- случайная величина;
3)D(C•X)=C2•D(X), где С-постоянная величина;
4)D(X+Y)=D(X)+D(Y), где X,Y- независимые случайные величины;
Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться формулой:
D(X)=M(X2)-(M(X))2,
n
где М(Х)=∑ xi2рi= x12р1 + x22р2+…+ xn2рn
i=1
Пример. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:
-
х
-1
0
1
2
3
р
0,1
Р2
0,3
0,2
0,3
Найти Р2, функцию распределения F(x) и построить ее график, а также M(X),D(X), σ(Х).
Решение: Так как сумма вероятностей возможных значений случайной величины Х равна 1, то
Р2=1- (0,1+0,3+0,2+0,3)=0,1
Найдем функцию распределения F(х)=P(X<x).
Геометрически это равенство можно истолковать так: F(х) есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х.
Если х≤-1, то F(х)=0, т.к. на (-∞;х) нет ни одного значения данной случайной величины;
Если -1<х≤0, то F(х)=Р(Х=-1)=0,1, т.к. в промежуток (-∞;х) попадает только одно значение x1=-1;
Если 0<х≤1, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)=0,1+0,1=0,2, т.к. в промежуток
(-∞;х) попадают два значения x1=-1 и x2=0;
Если 1<х≤2, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)= 0,1+0,1+0,3=0,5, т.к. в промежуток (-∞;х) попадают три значения x1=-1, x2=0 и x3=1;
Если 2<х≤3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)= 0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, т.к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1 и х4=2;
Если х>3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)+Р(Х=3)= 0,1+0,1+0,3+0,2+0,3=1, т.к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1,х4=2 и х5=3.
Итак,
0 при х≤-1,
0,1 при -1<х≤0,
0,2 при 0<х≤1,
F(x)= 0,5 при 1<х≤2,
0,7 при 2<х≤3,
1 при х>3
Изобразим функцию F(x)графически :
Найдем числовые характеристики случайной величины:
n
М(Х)=∑ xκрκ =x1р1 + x2р2+…+ xnрn
κ=1
M(X)=-1•0,1+0•0,1+1•0,3+2•0,2+3•0,3=1,5
n
D(X)= ∑ x2κрκ –(M(X))2 = x21р1 + x22р2+…+ x2nрn –(M(X))2
κ=1
D(X)=(-1)2 •0,1+12•3+22•0,2+32•0,3-(1,5)2=1,65
≈1,2845.