3.3 Операції над поліномами

Значна кількість методів теорії автоматичного управління оперує з поліномами. Поліном n-го порядку

подається в середовищі пакета вектором коефіцієнтів полінома, першим елементом якого є коефіцієнт при найвищому степені

d= [d_n d_n-1 … d₁ d₀]

Базовою функцією поліноміальних операцій є функція роlу. Після виклику цієї функції з матричним аргументом, результатом є вектор коефіцієнтів характеристичного полінома цієї матриці. У випадку, коли аргументом функції є вектор, результатом є вектор коефіцієнтів полінома, коренями якою є елементи аргументу. Для визначення коренів полінома існує функція roots. Наприклад,

>> А=[1 2; 3 4]

А=

1 2

3 4

>> koef=ро1у(А)

kоеf =

1.0000 -5.0000 -2.0000

roots (koef)

аns =

5.3723

-0.3723

Для визначення значення полінома в заданій точці застосовується функція роlival(р,s), р - вектор коефіцієнтів полінома. Якщо аргумент функції (s) є матрицею чи вектором, то значення полінома вираховується для кожного з елементів матриці чи вектора. Функція визначає значення полінома для матричного аргументу згідно з правилами матричних операцій. Так, наприклад,

>>А=[1 2; 3 4]

А =

1 2

3 4

>> ро1уvа1( [1 3 3 1] ,А)

ans =

8 27

64 197

>> ро1уvа1m ([1 3 3 І],А)

ans =

60 90

135 197

Множать два поліноми за допомогою функції conv, а для їх ділення призначена функція deconv. Аргументами цих функцій є вектори коефіцієнтів поліномів. Розглянемо роботу цих операторів на прикладі

а=[1 2 1], b=[1 3]

a=

1 2 1

b=

1 3

>> с=соnv(а,b)

c=

1 5 7 3

>> [q,r]=deconv (a,b)

q=

1 -1

r=

0 0 4

Внаслідок виконання операції ділення двох поліномів отримується результат ділення q та остача від ділення r, що виконують рівність а=сonv (q, b) + r.

Для розкладу дробових функцій на прості дроби застосовується, функція residue(n, d), де n, d - відповідно, вектори коефіцієнтів поліномів чисельника та знаменника. Виклик цієї функції має вигляд:

[r, р, k] = residue(n, d)

Результатом роботи цієї функції є

3.4 Зворотне перетворення Лапласа

Застосування перетворення Лапласа належить до класичних методів аналізу елект­ромеханічних систем. Внаслідок використання цього методу встановлюється взаємо­зв'язок між вхідним сигналом, що діє на систему, та її вихідним сигналом у вигляді пере­давальної функції W(р)=n(p)/d(p). Знайшовши вихідний сигнал системи в операторній формі У(р)=W(р)*Х(р) і застосувавши розклад на прості дроби за допомогою функції residue, знайдемо значення вихідного сигналу в часовій області за формулою

Як приклад реалізації такого підходу розглянемо дослідження перехідної характе­ристики системи, заданої передавальною функцією

Рисунок 6.2 - Перехідна характеристика системи.

Фрагмент програми, який виводить на графік отриману за допомогою зворотного пере­творення Лапласа перехідну характеристику системи, має вигляд

d=соnv([1 1.75 2.15 1], [1 0]);

n=[1];

t=0:0.01:10;

[r, р, k.] =residue(n, d) ;

sum=0 ;

for і=1:1еngth(r)

sum=sum+r(і) *ехр(t.*р(і))

end;

plot(t, sum) , grid

На рис. 6.2 показано отриману перехідну характеристику системи.