Примеры непрерывных случайных величин:

 

1) нормальная непрерывная случайная величина, или непрерывная случайная величина Гаусса(нормальное распределение). Непрерывная случайная величина   имеет нормальное (гауссовское) распределение, если её плотность распределения имеет вид

     Если  , то распределение называется стандартным нормальным распределением.

     Важная роль этого распределения объясняется тем, что оно обычно возникает в явлениях, подверженных действию большого числа малых случайных величин. Так, математическая теория выборочного метода в статистике для расчета некоторых показателей широко использует нормальное распределение.

 

2)экспоненциальная (показательная) непрерывная случайная величина(экспоненциальное распределение).  Непрерывная случайная величина   имеет экспоненциальное(показательное) распределение с параметром  , если её плотность имеет вид

     Экспоненциальному распределению подчиняется время распада ядер атомов различных элементов. Оно обладает важным свойством - отсутствием последствия. Несложно убедиться в том, что вероятность распада ядра за время  при условии, что перед этим оно уже прожило время  , совпадает с безусловной вероятностью распада того же самого ядра за время . Именно это свойство и представляет собой отсутствие последствия.

 

3) Равномерная на [a;b] непрерывная случайная величина(равномерное на отрезке [a;b] распределение).

Равномерно распределенная на отрезке [a;b] непрерывная случайная величина  имеет плотность распределения

     Равномерное распределение реализует принцип геометрической вероятности при бросании точки на отрезок [a;b].

Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины: ряд распределения, многоугольник распределения, аналитические законы распределения.

Определение: Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями.

Закон распределения дискретной случайной величины Х может быть задан в виде таблицы, в первой строке которой указаны в порядке возрастания все возможные значения случайной величины, а во второй строке соответствующие вероятности этих значений, т.е.

x	x1	x2	х3	…	хn
p	р1	р2	р3	...	рn

где р₁+ р₂+…+р_n=1

Такая таблица называется рядом распределения дискретной случайной величины.

Если множество возможных значений случайной величины бесконечно, то ряд р₁+ р₂+…+р_n+… сходится и его сумма равна 1.

Закон распределения дискретной случайной величины Х можно изобразить графически, для чего в прямоугольной системе координат строят ломаную, соединяющую последовательно точки с координатами (x_i;p_i), i=1,2,…n. Полученную линию называют многоугольником распределения (рис.1).

рис.1

Закон распределения дискретной случайной величины Х может быть также задан аналитически (в виде формулы):

P(X=x_i)=φ(x_i),i =1,2,3…n

Задача№1. Вероятности того, что студент сдаст экзамен в сессию по математическому анализу и органической химии соответственно равны 0,7 и 0,8. Составить закон распределения случайной величины Х- числа экзаменов, которые сдаст студент.

Решение.Рассматриваемая случайная величина Xв результате экзамена может принять одно из следующих значений:x₁=0, x₂=1, х₃=2.

Найдем вероятность этих значений.Обозначим события:

По условию:

Тогда:

Итак, закон распределения случайной величины Х задается таблицей:

x	0	1	2
p	0,6	0,38	0,56

Контроль:0,6+0,38+0,56=1.

Биномиальное распределение. Распределение Пуассона. Геометрическое распределение.

Числовые характеристики дискретной случайной величины: математическое ожидание и его свойства, дисперсия и ее свойства, среднее квадратическое отклонение.

Полное описание случайной величины дает также функция распределения.

Определение:Функцией распределения дискретной случайной величины Хназывается функция F(x), определяющая для каждого значения х вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньше х:

F(x)=Р(Х<х)

Геометрически функция распределения интерпретируется как вероятность того, что случайная величина Х примет значение, которое изображается начисловой прямой точкой, лежащей левее точки х.