- •1. Первообразная и неопределенный интеграл. Теорема об общем виде
- •2. Основные свойства неопределенных интегралов.
- •3. Метод интегрирования разложением и подстановкой. Теорема о замене
- •4. Метод интегрирования по частям. Теорема.
- •5. Интегрирование простейших дробей.
- •6. Интегрирование дробно-рациональных функций.
- •7. Интегрирование иррациональных выражений.
- •8. Интегрирование тригонометрических функций.
- •17.Несобственные интегралы с бесконечными пределами. Теорема о сходимости таких интегралов.
- •18. Несобственные интегралы от неограниченных функций.
- •19. Абсолютная сходимость несобственных интегралов.
- •20. Числовые ряды. Частичные суммы. Сходимость ряда. Теорема об общем члене сходящегося ряда.
- •21. Основные свойства рядов. Остаток ряда. Теорема об остатке ряда.
- •22. Положительные ряды. Признаки сходимости (теоремы сравнения)
- •23. Признак Даламбера.
- •24. Радикальный признак Коши.
- •25. Интегральный признак Коши-Маклорена.
- •26. Знакопеременные ряды. Понятие абсолютной сходимости. Теорема Коши об абсолютной сходимости.
- •27. Условная сходимость рядов. Теорема Лейбница.
- •28. Функциональные ряды. Область сходимости.
- •29. Степенные ряды. Теорема Абеля.
- •30. Ряды Тейлора. Критерий разложимости функции в ряд Тейлора.
- •35. Линейные уравнения первого порядка. Метод вариации произвольной постоянной (Лагранжа).
- •36. Уравнение Бернулли.
- •37. Задача Коши для уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной.
- •38. Дифференциальные уравнения порядка выше первого. Два типа уравнений, метод решений которых понижение порядка.
- •39. Линейная зависимость функций. Определитель Вронского.
- •40. Однородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
- •41. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
- •46. Частные производные высших порядков. Дифференцируемость функций нескольких переменных.
- •47. Дифференцирование сложных функций многих переменных.
- •48. Инвариантность формулы первого дифференциала.
- •49. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
- •50. Полные дифференциалы высших порядков.
- •51. Формула Тейлора для функции нескольких переменных.
- •52. Экстремум функции двух переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума.
28. Функциональные ряды. Область сходимости.
Ряд, членами которого являются функции от х, называется функциональным: = + +…+ +…,
Придавая х определенное значение , получим ряд
+ +…+ +…,
Если полученный числовой ряд сходится, то точка называется точкой сходимости данного ряда. Если же ряд расходится, то точкой расходимости.
29. Степенные ряды. Теорема Абеля.
Степенной ряд – это ряд, членами которого являются степенные функции аргумента х.
= + + + … + +…(1), где - коэффициенты ряда
Теорема Абеля: Если степенной ряд (1) сходится при , то он абсолютно сходится при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству .
Док-во: По условию ряд сходится. Следовательно, по необх. приз. сходимости = 0. Отсюда следует, что величина ограничена, т.е. найдется такое число M>0, что для всех n выполняется неравенство Пусть |x|<| |, тогда величина q= <1 и, следовательно,
| |= | | , То есть модуль каждого члена исходного ряда не превосходит соответствующего члена сходящегося ряда. Поэтому по пр. ср. ряд сходится абсолютно.
30. Ряды Тейлора. Критерий разложимости функции в ряд Тейлора.
Если функция f(x) имеет производные любых порядков в окрестности точки и остаточный член стремится к нулю , то из формулы Тейлора получается разложение функции f(x) по степеням (x- ), называемое рядом Тейлора:
Теорема: Если модули всех произвольных функций f(x) ограничены в окрестности точки одним и тем же числом M>0, то для любого x из этой окрестности ряд Тейлора функции f(x) сходится к функции f(x), т.е. имеет место разложение в ряд Тейлора.
Доказательство длинное. Покажите, что остаточный член стремится к нулю и все получится.
31. Разложение функций в степенные ряды.
Написать разложения основных функций.
32. Приложения рядов для приближенных вычислений.
Раскладывать по известным разложениям функций. Используя точность (кол-во знаков после запятой), чтобы отбросить нужный остаточный член.
33. Дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения с разделяющимися переменными.
Дифференциальное уравнение – это уравнение, в котором связана независимая переменная, искомая функция и ее производные. ДУ 1 порядка – это уравнение вида y’=f(x; y). Оно имеет вид P(x)dx+Q(y)dy=0. Как видно, переменные резделены. Чтобы его решить, нужно почленно проинтегрировать это уравнение. Тогда получим
34. Уравнения с однородными коэффициентами. Метод подстановки.
Функция f(x; y) называется однородной функцией n-го порядка, если при умножении каждого ее аргумента на произвольный множитель λ вся функция умножится на , т.е. f(λx; λy)=
ДУ y’=f(x; y) называется однородным, если f(x; y) есть однородная функция 0 порядка.
Однородное ДУ можно записать в виде y’= ) (1).
Если f(x; y) – однородная функция 0 порядка, то по определению, f(x; y)=f(λx; λy). Заменив λ= , получаем f(x; y)= f( ).
Однородное уравнение (1) преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными при помощи подстановки или y=ux. Действительно, подставив данные в исходное уравнение получаем уравнение с разделяющимися переменными.