Построение параллельного алгоритма

Поскольку решение методом Гаусса сводится к последовательности однотипных вычислительных операций умножения и сложения над строками матрицы, в качестве подзадач можно принять вычисления, связанные с обработкой одной или нескольких строк матрицы A и соответствующего элемента вектора b.

нужно собрать ведущие элементы на первом процессоре и выбрать ведущую строку;
затем надо ведущую строку разослать всем процессорам, в которых есть к –ые строки;
получив ведущую строку, все процессоры выполняют вычитание строк и исключают из системы переменную .

В обратном ходе метода Гаусса, как только какая-либо, например i–я подзадача,

0 ≤i<n-1, определила свою переменную., это значение рассылается всем подзадачам с номерами k, k<i. В каждой подзадаче полученное значение неизвестной умножается на соответствующий коэффициент и выполняется корректировка соответствующего элемента вектора b.

Масштабирование и распределение подзадач по процессорам.

В качестве подзадач могут быть взяты строки матрицы A, каждая из которых при этом закрепляется за одним процессором. Если число строк матрицы больше, чем число доступных процессоров (p<n), подзадачи можно укрупнить, объединив несколько строк матрицы. Если при этом используется последовательная схема разделения данных, при которой в одной подзадаче оказываются соседние строки матрицы, по мере исключения (в прямом ходе) или определения (в обратном ходе) неизвестных, все большая часть процессоров, для которой вычисления завершены, окажется простаивающей.

Пример использования ленточной циклической схемы разделения строк матрицы между тремя процессорами:

Рис. 10

Распределение подзадач между процессорами должно также учитывать характер обмена данными между подзадачами. В рассматриваемом методе Гаусса взаимодействие подзадач заключается в передаче данных от одного процессора всем процессорам вычислительной системы. Поэтому в данном случае целесообразна топология сети передачи данных в виде гиперкуба или полного графа.

Анализ эффективности.

Пусть n – порядок системы линейных уравнений, а p, p<n – число используемых процессоров, т.е. матрица А имеет размер n×n, а n/p – размер полосы на каждом процессоре (для простоты полагаем, что n/p – целое число). Определим сложность параллельного варианта метода Гаусса.

В прямом ходе алгоритма для выбора ведущей строки на каждой итерации и каждом процессоре должно быть определено максимальное значение в столбце с исключаемой неизвестной в пределах закрепленной за ним полосы. По мере исключения неизвестных количество строк в полосах сокращается. После сбора полученных максимальных значений, определения и рассылки ведущей строки на каждом процессоре выполняется вычитание ведущей строки из каждой строки оставшейся части строк своей полосы матрицы A.

Общие затраты на выполнение действий в одной строке на i-й итерации, 0 ≤i<n-2 составляет 2(n-i)+1 операций. Если применена циклическая схема распределения данных между процессорами, то на i-й итерации каждый процессор будет обрабатывать примерно (n-i)/s строк. С учетом этого, общее число операций параллельного варианта прямого хода метода Гаусса определяется выражением :