- •Кафедра математики, теории и методики обучения математике группы классов вычетов в теории чисел
- •Тобольск – 2012 Содержание
- •Глава I. Основные понятия теории групп
- •Глава II. Аддитивные и мультипликативные группы классов вычетов и их применение в теории чисел
- •Введение
- •Глава I. Основные понятия теории групп
- •1.1. Бинарные операции, их свойства
- •1. 2. Группы и их свойства. Примеры
- •3. Подгруппы и их свойства. Критерий подгруппы. Примеры
- •4. Смежные классы. Теорема Лагранжа
- •Глава II. Аддитивные и мультипликативные группы классов вычетов и их применение в теории чисел
- •2. 1. Нормальные подгруппы. Фактор-группы. Примеры
- •2. 2. Прямое произведение групп
- •2.3. Применение теоретико-групповых методов в теории чисел
- •2. 4. Решение задач Задача 1
- •Список литературы
3. Подгруппы и их свойства. Критерий подгруппы. Примеры
Определение и критерий подгруппы
Определение 1. 3. 1. Непустое подмножество H группы А называется подгруппой группы А, если H само является группой относительно групповой операции в А.
Замечание. Содержащееся в определении подгруппы требование к подмножеству группы А, быть группой относительно групповой операции, определённой в А, нельзя заменить определением, по которому подгруппой группы А называлось бы всякое подмножество группы А, само являющееся группой. Так множество положительных рациональных чисел является группой относительно умножения и содержится, как подмножество, в аддитивной группе всех рациональных чисел, но не будет, конечно, подгруппой этой группы.
Если H - подгруппа группы А, то пишут Н < А
Теорема 1. 3. 1. Единица 1H и обратный aH-1 к а Н в подгруппе Н группы А совпадают с единицей 1 и обратным а-1 в самой группе А.
Доказательство. Действительно, 1H = 1H · 1 = 1H · а · а-1 = а · а-1 = 1 и аH-1 = аH-1 · а · а-1 = а-1 где а - произвольный элемент из H.
При доказательстве того, что некоторое подмножество Н группы А является подгруппой, удобнее всего бывает пользоваться следующей теоремой:
Теорема 1. 3. 2. (Критерий подгруппы). Для того, чтобы непустое подмножество Н группы А являлось подгруппой группы А необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись 2 условия:
Н должно быть замкнуто относительно групповой операции в А:
( а, b Н ) а · b Н;
Н должно быть замкнуто относительно операции взятия обратного элемента: ( a Н) ( а-1 Н).
Доказательство. Необходимость следует из определения группы. Достаточность. Из справедливости закона ассоциативности в группе А следует его справедливость для элементов из Н, а из того, что множество Н ¢ из свойств 1) и 2) следует принадлежность к Н единицы группы А.
Замечание. Если группа < А, ·> - конечная, то проверка свойства 2) является излишней. Для того чтобы показать, что Н является подгруппой данной группы достаточно построить таблицу Кэли и убедиться, что результаты операции принадлежат Н.
Примеры подгрупп
1. Множество Н = {2к, где k Z} является подгруппой
мультипликативной группы <Q*, ·>так как Н , H Q* и выполняются два условия критерия подгруппы:
1) a · b = 2k+t H;
(где k, t, k+ t, - k Z).
2. Несобственные подгруппы. Каждая группа имеет единичную подгруппу {1} и сама является своей подгруппой.
3. Циклические подгруппы. Зафиксируем элемент а в группе А. Подмножество (а) = {аk | k Z} группы А, состоящее из всевозможных целых степеней элемента а, является подгруппой в А, называемой циклической подгруппой группы А, порождённой элементом а. Сам элемент а называется образующим (порождающим) циклической подгруппы (а).
Группа А, совпадающая с некоторой своей циклической подгруппой (а), называется циклической и состоит из элементов ... а-2 , а-1, а0 = 1, а1 = а,... среди которых могут быть равные.
4. Подгруппы в аддитивной группе Z. Пусть Н - ненулевая подгруппа в Z и п - наименьшее положительное число из Н. Возьмём в Н произвольный элемент а разделим его с остатком на п, получим а= п · к + р (0 р< п). Т.к. а, п Н, то п · к Н, - п · к Н и р = а + (- пк) Н. В силу минимальности п, р = 0, т.е. а = пк п Z - множеству всех целых чисел, делящихся на п, которое, очевидно, является циклической подгруппой в Z, пZ = (n). Таким образом, Н = пZ. Итак, подгруппами в Z являются следующие циклические подгруппы: нулевая подгруппа (0) = {0} и бесконечные подгруппы пZ, порождённые различными натуральными числами п.
5. Некоторые подгруппы аддитивной группы С (комплексных чисел).
1) Множество всех чисел, изображаемых точками, лежащими на произвольной прямой, проходящей через начало координат.
2) Имеет место следующая цепочка: тZ < Z < Q < R < С.
3) {а + b · i | а, b А}, где А - любое из множеств п.2).
6. Некоторые подгруппы в мультипликативной группе С* всех ненулевых комплексных чисел.
1) Q* - множество всех ненулевых рациональных чисел;
2) R* - множество всех ненулевых действительных чисел;
3) R* · i - множество всех ненулевых чисто мнимых чисел;
4) Cn - множество всех комплексных корней n-ой степени из 1 (п N);
К - множество всевозможных комплексных корней из 1;
С1 - множество комплексных чисел с единичным модулем.
7. Подгруппы группы симметрий правильного треугольника G :
{е}, {е, b}, {е, а · b}, {е, а2 · b}, {е, а, a2}, G .
Подгруппы симметрической группы подстановок S3:
{е}, {е }, {е },{е }, {е , }, S3.
Замечание. Легко проверить, что пересечение любых двух подгрупп группы G является подгруппой группы G.