4. Направление выпуклости. Точки перегиба.

График функции имеет выпуклость вверх (вниз) на интервале, если на этом интервале график расположен не выше (не ниже) касательной к графику функции, проведенной в любой точке этого интервала.

Необходимое условие выпуклости вверх (вниз). Если функция у=f(x) в каждой точке интервала (a,b) имеет f’’(x)≤0 (f’’(x)≥0), то график функции на этом интервале имеет выпуклость вверх (вниз).

Необходимое условие точки перегиба. Если в точке график функции имеет точку перегиба, а сама функция имеет вторую производную в окрестности этой точки, то такая производная обращается в ноль.

Достаточное условие точки перегиба. Если функция имеет вторую производную в окрестности точки, и в самоц точке эта производная обращается в ноль, тогда если в указанной окрестности вторая производная имеет разные знаки слева и справа от данной точки, то в этой точке функция имеет перегиб.

4. Асимптоты.

Прямая L называется асимптотой графика у=f(x), если расстояние от точки M (x,y), лежащей на кривой стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки от начала координат (т.е. при стремлении хотя бы одной из координат точки к бесконечности).

Существуют вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.

Если то прямая х=а является вертикальной асимптотой.

Если то прямая y=b является горизонтальной асимптотой.

Прямая является наклонной асимптотой графика функции если одновременно существуют пределы:

Или

4. Понятие дифференциал.

Полным приращением функции является:

Дифференциалом dy называется главная, линейно относительно ∆x, часть полного приращения функции. Следовательно, дифференциал

4. Первообразная функции. Неопределенный интеграл и его свойства.

Функция F(x) называется первообразной по отношению к функции f(x), если функция F(x) дифференцируема и выполняется условие F’(x)=f(x).

Неопределенным интегралом от функции f(x) называется множество всех её первообразных. Неопределенный интеграл обозначается

Свойства неопределенного интеграла:

• 

• 

• 

• 

• 

• .

4. Таблица интегралов.

Таблица простейших интегралов имеет следующий вид (без дифференциалов).

4. Основные методы интегрирования.

Существует несколько основных методов интегрирования.

В отдельных случаях можно использовать метод интегрирования по частям:

Так же можно использовать формулу интегрирования по частям:

При помощи этих методов некоторые интегралы удается привести к табличному виду и найти их значение.

4. Рациональные дроби. Простейшие рациональные дроби и их интегрирование.

Выражения типа , где – многочлены n-ой и m-ой степени называются рациональной дробью. Рациональная дробь называется правильной, если m<n и неправильной, если m≥n. Если дробь неправильная, необходимо путем деления выделить целую часть. Затем, знаменатель правильной дроби необходимо разложить на множители, разделить дробь на несколько дробей, в знаменателях которых находятся множители и путем несложных математических преобразований получить несколько табличных интегралов.

4. Интегрирование рациональных дробей.

См предыдущий вопрос.

4. Интегрирование простейших иррациональных функций.

Интеграл вида

Где R – рациональная функция, а – целые числа находят при помощи подстановки , где n – наименьшее общее кратное .